Расчёт детерминированного сетевого графика.

Построение сетевого графика

*84*

Оптимизация транспортной задачи методом потенциалов

После построения опорного плана переходят ко вто­рому этапу решения распределитель­ной задачи с пропорциональными затратами. Здесь производится по­следовательное улучшение опорного (начального) плана. В настоящее время существует много методов последовательного улучшения опор­ного (начального) плана. К наибо­лее употребительным методам относятся рас­пределительный метод, метод потен­циалов, метод stepping-stone и ряд других. Основой вычислительного про­цесса (алгоритма) этих методов является определение критерия опти­мальности

где: С_ij — затраты, связанные с выполнением единицы работы i-м комплектом машин на j-м объекте;

Z_ij — расчетные затраты, связан­ные с выполнением одной единицы работы i-м комплектом машин на j-м объекте, опре­деляемые для тех клеток опорного плана, в которые не распределены объемы работ.

Если все δ_ij ≥ 0, то данный опорный план оптимальный, если нет, то с по­мощью этого критерия оптимальности можно указать способ улучшения этого плана.

Ограничимся рассмотрением метода потенциалов. Метод потенциалов включает следующие основные этапы:

1. Составление и решение системы уравнений с переменными V_j , U_i , которые удовлетворяют такой системе равенств

При этом используются те индексы i и j, на пересечении которых в соответствую­щих клетках распределены объемы работ. Для нашей задачи система уравнений будет выглядеть так:

Имеем 7 уравнений и 8 неизвест­ных, поэтому одному из неизвестных, желательно наиболее часто встречаю­щемуся в уравнениях, дается произволь­ное значение, как правило, для об­легчения счета, равное нулю. В нашей системе уравнений наиболее часто встречающееся неизвестное — это U₃. Положим U₃ = 0. Решая последова­тельно соответствующие уравнения, получим

V₁ = 19, V₂ = 10, V₃ = 100, U₁ = 76, U₂ = -8, U₄ = 16, V₄ = 24.

2. Определение расчетных значений Z_ij = V_i — U_i. При этом используются те индексы i и j, на пересечении которых в соответствующих клетках не распределены объемы работ:

3. Определение значений критерия оптимизации δ_ij = С_ij — Z_ij и проверка условия оптимальности, если все δ_ij ≥ 0, то исходный план оптимален. Если некоторые δ_ij < 0, то переходят к новому опорному плану:

В нашем случае δ₂₃ < 0 — переходим к новому опорному плану.

4. Построение нового опорного плана, которому отвечает меньшее значение целевой функции. Для этого в опорный план вводится та переменная x_ij, которой отвечает наименьшее отрицательное значение δ_ij. Вводя новую переменную, одновре­менно изменяют другие переменные, по меньшей мере, в трех заполненных клетках (чтобы не нарушались итого­вые величины в строках и столбцах таблицы а_i и b_j). Для этого строят многоугольник, в котором одна из вершин находится в свободной клетке, для которой δ_ij < 0 и имеет наимень­шее значение, а остальные — в запол­ненных объемами работ (загружены); при этом все углы многоугольни­ка должны быть прямыми (много­угольник, отмеченный пунктирной ли­нией в табл. 7.10). В пределах клеток, лежащих в вершинах многоугольника (рис. 7.3, а), производят перераспре­деление объемов работ.

Рис. 7.3. Перераспределяемые (а) и перераспределенные объемы работ (б)

Используя правило перераспреде­ления объемов работ в пределах мно­гоугольника, проводим распределение объемов работ (рис. 7.3, б). При этом сумма объемов работ по всем строкам и по всем столбцам должна оставаться без изменения.

В нашем примере многоугольник имеет очень простой вид: На практике при решении задач большой размерности многоугольник может принимать самые замысловатые виды, образуя множество пересекающихся линий. Проводя соответствующие изменения в исходном опорном плане, оконча­тельно получим новый опорный план (табл. 7.11).

Таблица 7.11.

Комплекты машин Аi	Объекты Bj				Годовая выработка машин Пгj
	В1	В2	В3	В4
	Затраты на выполнение единицы работы Cij комплектом машин Ai на объекте Bj
А1	70	38	24 14	92	14
А2	58	18 19	56 1	72	20
А3	19 23	10 3	100	30 4	26
А4	3 7	36	121	8 34	41
Годовой объем работ Vj	30	22	15	34	_

Суммарные затраты на выполне­ние всего объема работ составят

У = 14*24 + 19*18 + 1*56 + 23*19 + 3*10 + 7*3 + 34*8 = 1494 руб.

Это значительно меньше, чем при исходном опорном плане, определенном способом аппро­ксимации Фогеля.

По сравнению с исходным опорным планом, который представляется на первый взгляд также весьма разум­ным, суммарные затраты на выполне­ние всех объемов работ уменьшились примерно на 3,3 %.

Нахождением нового опорного пла­на заканчивается первое приближение (первая итерация). Дальше аналогич­ные операции повторяются, но уже для нового опорного плана.

Последующие вычисления показы­вают, что все δ_ij ≥ 0, т. е. опорный план, полученный в табл. 7.11, яв­ляется оптимальным. Часто при пост­роении опорного плана или в процес­се решения задачи методом потенциа­лов число клеток, в которые распре­делены объемы работ, меньше m + п - 1, где m – число комплектов машин (строк), п — число объектов строительства (столбцов). В этом ситуации говорят, что имеет место случай вы­рождения. Для устранения вырожде­ния применяют два способа:

• вводят в некоторые свободные клетки объемы работ, равные нулю, и данные клетки считают занятыми;

• выбирают несколько клеток, до­полняющих сумму занятых клеток до m+n-1, и вводят в них сколь угод­но малые объемы работ.

*86*