Рассмотрим на примере: Оптимизация структуры одноканального комплекта машин

Постановка задачи. Известно, что одноканальный комплект машин функционирует как одноканальная замкнутая система массового обслуживания (СМО) с неограниченным временем ожидания и с простейшими потоками, например, кран – панелевозы, экскаватор – автосамосвалы, мастерская по ремонту машин – обслуживаемые машины и т. д. Известны:

- интенсивность поступления одной машины на обслуживание - ;

- интенсивность обслуживания каналом - µ.

Известны также основные технико-экономические показатели функционирования каждой машины комплекта.

Требуется определить оптимальную структуру комплекта, т. е. какое число машин должна обслуживать ведущая машина (канал обслуживания), чтобы удельные приведенные затраты с учетом прибыли, получаемой от досрочного ввода объекта в строй, были минимальны.

Выявление основных особенностей взаимосвязей и количественных закономерностей. Критерий оптимизации (удельные приведенные затраты с учетом прибыли от досрочного ввода объекта в строй) в общем виде может быть представлен в таком виде:

где С_ВМ – себестоимость работ ведущей машины в единицу времени (час, смену), руб.;

m – число обслуживаемых (комплектующих) машин в системе;

С_КМ – себестоимость работ обслуживаемой машины в единицу времени (час, смену), руб.;

П_КОМПЛ – эксплуатационная производительность комплекта машин (м³, т, шт.) в единицу времени (час, смену);

E_H – нормативный коэффициент эффективности капиталовложений;

S_B, S_K – капитальные вложения, связанные соответственно с приобретением ведущей и комплектующей машин, руб.;

Т_Г – годовой режим работы комплекта машин в году (час, смен);

П_Р – среднегодовая прибыль за период досрочного ввода объекта в строй, руб./год;

Т_H – нормативная продолжительность строительства, год;

Т – фактический срок строительства объекта, год;

V₀ – объем работ на объекте, ед. продукции.

Учитывая возможные простои ведущей машины (канала обслуживания) себестоимость работ ведущей машины в единицу времени (час, смену), руб. - С_ВМ может быть представлена в таком виде.

где р₀ – вероятность простоя ведущей машины из-за отсутствия обслуживаемых машин;

С_ВП – средние затраты, связанные с простоем ведущей машины в единицу времени (час, смену), руб.;

С_ВР, – средние затраты, связанные с работой ведущей машины в единицу времени (час, смену), руб.

Учитывая, что часть себестоимости работ обслуживаемой машины в единицу времени (час, смену), руб., связана с величиной пробега обслуживаемых маши, С_КМ может быть представлена в таком виде;

где С_КП – средние затраты, связанные с простоем обслуживаемой машины в единицу времени, руб.;

n_k – число ездок обслуживаемых машин в единицу времени;

С_К – затраты на 1 км пробегом обслуживаемой машины, руб.;

l – расстояние транспортирования продукции (панели, грунт, …), км.

После подстановки развернутых выражений себестоимостей работ ведущей и обслуживаемой машин в единицу времени в критерий оптимизации получим

Если работа комплекта машин не влияет на фактический срок строительства объекта, например, имеется большой резерв времени, то возможно использование в качестве критерия оптимизации только удельных приведенных затрат без учета прибыли, получаемой от досрочного ввода объекта в строй.

Число ездок обслуживаемых машин в единицу времени может быть определено по формуле

Эксплуатационная производительность комплекта машин (м³, т, шт.) в единицу времени (час, смену) может быть определена по формуле

где G – количество продукции (панели, грунт, …), перевезенной за один рейс (м³, т, шт.);

Тогда критерий оптимизации может быть представлен так

Таким образом, мы имеем простейший поток, который обладает одновременно свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия. Тогда, вероятность простоя ведущей машины будет равна.

Объем работ на объекте V₀ можно определить по формуле.

Построение математической модели. Преобразуем исходное выражение критерия оптимизации так, чтобы можно было выделить в нем части, независящие и зависящие от числа обслуживаемых машин – m.

Представим выражение P₀ С_ВП в таком виде [– (1 – P₀) С_ВП + С_ВП], тогда критерий оптимизации y(m) запишется так

Тогда первый и второй члены критерия оптимизации не зависят от числа обслуживаемых машин m, а третий член зависит.

Обозначим первый и второй члены через y₁ и несколько преобразуем третий член, тогда получим математическую модель в таком виде:

Исследование математической модели. Анализируя полученную математическую модель, можно заметить, что искомый параметр – число машин m, которые может эффективно обслуживать ведущая машина, принимает только целочисленное значение, следовательно, классические методы оптимизации в этой ситуации неприменимы.

Для поиска оптимума воспользуемся следующим неравенством:

Если число обслуживаемых машин в комплекте мало, то будут значительные простои ведущей машины, если же наоборот, то будет велик простой обслуживаемых машин. И в том, и в другом случае комплект будет неэффективен.

Обозначим выражение через C₁, а выражение через C₂.

Подставим в неравенство выражения критерия оптимизации с соответствующим числом обслуживаемых машин: (m-1), m, (m+1) и принятыми заменами, получим.

Упростим неравенство, удалив слагаемое y₁ и множитель G·μ.

Тогда неравенство запишется в таком виде.

Разделим все части неравенства на выражение , стоящего в числителе среднего члена, а затем в левой и правой частях неравенства на С₁. Обозначим отношение С₂/C₁ через С. Тогда после некоторых преобразований получим следующее неравенство:

где

Назовем величину С коэффициентом затрат.

*82*