Оптимизация структуры одноканального комплекта машин

Постановка задачи. Известно, что одноканальный комплект машин функционирует как одноканальная замкнутая система массового обслуживания (СМО) с неограниченным временем ожидания и с простейшими потоками, например, кран – панелевозы, экскаватор – автосамосвалы, мастерская по ремонту машин – обслуживаемые машины и т. д. Известны:

- интенсивность поступления одной машины на обслуживание - ;

- интенсивность обслуживания каналом - µ.

Известны также основные технико-экономические показатели функционирования каждой машины комплекта.

Требуется определить оптимальную структуру комплекта, т. е. какое число машин должна обслуживать ведущая машина (канал обслуживания), чтобы удельные приведенные затраты с учетом прибыли, получаемой от досрочного ввода объекта в строй, были минимальны.

Выявление основных особенностей взаимосвязей и количественных закономерностей. Критерий оптимизации (удельные приведенные затраты с учетом прибыли от досрочного ввода объекта в строй) в общем виде может быть представлен в таком виде:

где С_ВМ – себестоимость работ ведущей машины в единицу времени (час, смену), руб.;

m – число обслуживаемых (комплектующих) машин в системе;

С_КМ – себестоимость работ обслуживаемой машины в единицу времени (час, смену), руб.;

П_КОМПЛ – эксплуатационная производительность комплекта машин (м³, т, шт.) в единицу времени (час, смену);

E_H – нормативный коэффициент эффективности капиталовложений;

S_B, S_K – капитальные вложения, связанные соответственно с приобретением ведущей и комплектующей машин, руб.;

Т_Г – годовой режим работы комплекта машин в году (час, смен);

П_Р – среднегодовая прибыль за период досрочного ввода объекта в строй, руб./год;

Т_H – нормативная продолжительность строительства, год;

Т – фактический срок строительства объекта, год;

V₀ – объем работ на объекте, ед. продукции.

Учитывая возможные простои ведущей машины (канала обслуживания) себестоимость работ ведущей машины в единицу времени (час, смену), руб. - С_ВМ может быть представлена в таком виде.

где р₀ – вероятность простоя ведущей машины из-за отсутствия обслуживаемых машин;

С_ВП – средние затраты, связанные с простоем ведущей машины в единицу времени (час, смену), руб.;

С_ВР, – средние затраты, связанные с работой ведущей машины в единицу времени (час, смену), руб.

Учитывая, что часть себестоимости работ обслуживаемой машины в единицу времени (час, смену), руб., связана с величиной пробега обслуживаемых маши, С_КМ может быть представлена в таком виде;

где С_КП – средние затраты, связанные с простоем обслуживаемой машины в единицу времени, руб.;

n_k – число ездок обслуживаемых машин в единицу времени;

С_К – затраты на 1 км пробегом обслуживаемой машины, руб.;

l – расстояние транспортирования продукции (панели, грунт, …), км.

После подстановки развернутых выражений себестоимостей работ ведущей и обслуживаемой машин в единицу времени в критерий оптимизации получим

Число ездок обслуживаемых машин в единицу времени может быть определено по формуле

Эксплуатационная производительность комплекта машин (м³, т, шт.) в единицу времени (час, смену) может быть определена по формуле

где G – количество продукции (панели, грунт, …), перевезенной за один рейс (м³, т, шт.);

Тогда критерий оптимизации может быть представлен так

• вероятность поступления одной машины на обслуживание не зависит от вероятности поступления другой, т. е. мы имеем систему без последействия;

• вероятность поступления на обслуживание сразу двух и более машин равна нулю или столь мала, что ею можно пренебречь, т. е. мы имеем систему машин с ординарным потоком машин в системе.

• вероятность поступления машины на обслуживание зависит только от интервала, но не зависит от расположения этого интервала на оси времени, т. е. мы имеем комплект машин со стационарным потоком поступления машин на обслуживание.

Таким образом, мы имеем простейший поток, который обладает одновременно свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия. Тогда, вероятность простоя ведущей машины будет равна.

Объем работ на объекте V₀ можно определить по формуле.

Построение математической модели. Преобразуем исходное выражение критерия оптимизации так, чтобы можно было выделить в нем части, независящие и зависящие от числа обслуживаемых машин – m.

Представим выражение P₀ С_ВП в таком виде [– (1 – P₀) С_ВП + С_ВП], тогда критерий оптимизации y(m) запишется так

Тогда первый и второй члены критерия оптимизации не зависят от числа обслуживаемых машин m, а третий член зависит.

Обозначим первый и второй члены через y₁ и несколько преобразуем третий член, тогда получим математическую модель в таком виде:

Исследование математической модели. Анализируя полученную математическую модель, можно заметить, что искомый параметр – число машин m, которые может эффективно обслуживать ведущая машина, принимает только целочисленное значение, следовательно, классические методы оптимизации в этой ситуации неприменимы.

Для поиска оптимума воспользуемся следующим неравенством:

Если число обслуживаемых машин в комплекте мало, то будут значительные простои ведущей машины, если же наоборот, то будет велик простой обслуживаемых машин. И в том, и в другом случае комплект будет неэффективен.

Обозначим выражение через C₁, а выражение через C₂.

Подставим в неравенство выражения критерия оптимизации с соответствующим числом обслуживаемых машин: (m-1), m, (m+1) и принятыми заменами, получим.

Упростим неравенство, удалив слагаемое y₁ и множитель G·μ.

Тогда неравенство запишется в таком виде.

Разделим все части неравенства на выражение , стоящего в числителе среднего члена, а затем в левой и правой частях неравенства на С₁. Обозначим отношение С₂/C₁ через С. Тогда после некоторых преобразований получим следующее неравенство:

где

Назовем величину С коэффициентом затрат.

Определение оптимальной структуры одноканального комплекта машин с использованием таблицы расчетов.

Для этого необходимо протабулировать полученное выше неравенство для различных значений m. Те из значений, которые будут удовлетворять неравенству, и будут искомыми оптимальными значениями.

Ниже в табл. 4.1 приведены результаты расчета.

Таблица 4.1.

m	po(m)
2	0.82	6.769	5.545	5.168
3	0.732	4.005	3.732	3.616
4	0.647	2.921	2.83	2.792
5	0.564	2.325	2.293	2.286
6	0.485	1.946	1.94	1.949
7	0.409	1.685	1.692	1.71
8	0.339	1.495	1.511	1.536
9	0,273	1.354	1.376	1.406

Анализируя результаты табулирования отдельных составляющих неравенства, для определения оптимального числа требований, функционирующих в системе, можно заметить, что оптимальное число требований m_opt равно 6. Именно в этом случае выполняется исходное неравенство:

1.946  1.94  1.949

*71*