3.4 Пересечение поверхностей вращения
3.4.1 Задача 5
Построить линию пересечения двух поверхностей вращения .
Рассмотрим два варианта задачи (Рис.44,45).
Рис.44
Пересечение двух конусов. Недостающие линии необходимо достроить.
Рис.45
Пересечение сферы с цилиндром. Недостающие линии необходимо достроить.
Сначала построим объемные модели фигур. Построение элементов, из которых состоят фигуры, не представляет сложности. В AutoCAD уже имеются соответствующие примитивы. Это – Цилиндр (_Cylinder), Конус (_Cone) и Шар (_Sphere). Результат построения показан на Рис.46. Из рисунка видно, что линии пересечения представляют собой пространственные кривые. Для построения линий пересечения поверхностей вращения на двумерном чертеже существуют два способа. Выбор способа построения линии пересечения поверхностей вращения, зависит от взаимной ориентации элементов модели. Построим линию пересечения для модели изображенной на Рис.45. Для этой модели удобно использовать метод секущих плоскостей. Он заключается в том, что модель пересекается некоторой вспомогательной плоскостью. В нашем случае это будет горизонтальная плоскость. Следом от пересечения сферы с плоскостью будет окружность, а следом пересечения цилиндра с плоскостью будет прямоугольник. Точки пересечения этих следов дадут точки принадлежащие одновременно двум поверхностям вращения.
Рис.46
Твердотельные модели задачи 5.
Рис.47
Построение точек пересечения поверхностей сферы и цилиндра.
На Рис.47 показано построение точек пересечения сферы и цилиндра. Модель пересекли горизонтальной плоскостью РН1. Результатом пересечения сферы и плоскости РН1 будет окружность с радиусом R1. Пересечение цилиндра с плоскостью РН1 даст на горизонтальной проекции две прямые. Пересечение окружности и двух прямых на горизонтальной проекции даст четыре точки линии пересечения поверхностей вращения. Вернем эти точки на фронтальную проекцию. Они лежат в вспомогательной горизонтальной плоскости РН1. Таким же образом, смещая горизонтальную вспомогательную плоскость, построим необходимое количество точек пересечения. Эти точки будут называться промежуточными. Мы задаем их положение произвольно. Кроме таких точек есть точки, положение которых очевидно и не требует дополнительных построений. В нашем случае это точки 5 и 6 (Рис.48). Такие точки будем называть очевидными. Кроме таких точек есть точки, которые разделяют видимую и невидимую часть модели. Это точки лежащие на очерковых линиях. В нашем случае это
Рис.48
Построение линии пересечения сферы и цилиндра.
точки 5 , 6 и 3. Такие точки называются характерными, то есть точки 5 и 6 очевидные и характерные одновременно.
Точка 3 разделяет верхнюю видимую часть линии пересечения и нижнюю не видимую часть, которая должна изображаться штриховой линией. Кривую, соединяющую найденные точки, построим с помощью команды Сплайн (_Spline).
Однако не во всех случаях можно применить метод секущих плоскостей, например в случае, когда при пересечении поверхности вращения плоскостью получается сложная кривая – гипербола, парабола, которые сами требуют непростого построения.
Рассмотрим такой случай на примере задачи изображенной на Рис.44. В этой задаче пересекаются два конуса. Пользоваться методом секущих плоскостей нельзя потому, что при пересечении конуса плоскостями параллельными оси вращения будут получаться гиперболы. Воспользуемся методом концентрических сфер. Он применим к поверхностям вращения, оси которых пересекаются.
Рис.49
Пересечение сферы с конусом .
На Рис.49 изображена иллюстрация того, в чем заключается метод концентрических сфер. Сфера и конус имеют общую ось вращения. Такая фигура образуется вращением некоторой образующей, состоящей из дуги и двух отрезков прямой, вокруг оси i - i, проходящей через центр дуги. Любая точка этой образующей, вращаясь вокруг оси i - i, описывает в пространстве окружность. Точки 1 и 2 на Рис.49 тоже описывают в пространстве окружность, которая на данной проекции выглядит прямой перпендикулярной оси. Таким образом, если построить сферу, центр которой лежит в точке пересечения осей конусов, то сфера будет соосна сразу двум конусам. Воспользуемся этим методом для решения нашей задачи.
Рис.50
Минимальный и максимальный радиусы вспомогательных сфер используемых для построения линии пересечения.
Для определения минимального радиуса вспомогательной сферы проведем перпендикуляры из точки пересечения осей конусов к их образующим (Рис50). Тот из перпендикуляров, который будет больше и будет меньшим радиусом вспомогательной сферы. В нашем случае это радиус R1. Большим радиусом будет расстояние R2 до самой удаленной очевидной точки пересечения . Сфера с меньшим радиусом R1 пересечет конус, ось которого вертикальна, по прямой a’b’, (в пространстве по окружности), а конус ось которого горизонтальна по прямым c’d’ и e’f ’(Рис.51а). Точки 1’ и 2’ лежащие на пересечении прямых будут искомыми точками пересечения конусов. Повторяя построения, но с большими диаметрами вспомогательных сфер, получим необходимое количество точек кривой. Для того, чтобы найти на горизонтальной проекции пересечения конусов точки, разделяющие видимую и невидимую части линии пересечения, воспользуемся вспомогательной горизонтальной плоскостью Рн (Рис51б). Эта плоскость рассечёт конус с вертикальной осью вращения по окружности с радиусом r’, а конус с горизонтальной осью даст в сечении треугольник (плоскость проходит через ось конуса). Таким образом, будут найдены точки 3’ и 4’ разделяющие видимую и не видимую части линии пересечения на горизонтальной проекции.
а) б)
Рис.51
Построение линии пересечения поверхностей вращения с помощью метода концентрических сфер. а) – построение промежуточной точки. б) – построение характерных точек.
После построения достаточного количества точек построим линию пересечения с помощью команды Сплайн (_Spline). Однако при небольшом количестве точек пересечения линия, построенная этой командой, может значительно отличаться от реальной. Линия пересечения должна получиться плавной без изломов. Если изломы есть, то надо добавить промежуточных точек.