Основні властивості пар сил

1. Пару сил, не змінюючи її дії на тіло, можна переносити куди завгодно в площині, в якій лежить пара.

2. Пару сил, не змінюючи її дії на тіло, можна переносити у паралельну площину.

3. У парі сил, не змінюючи величини її момента, можна відповідно змінювати модулі сил і довжину плеча (тобто зменшувати сили, збільшуючи довжину плеча і навпаки).

4. Дві пари сил з рівними моментами еквівалентні

5. Декілька пар сил, що лежать в одній площині, можна замінити однією еквівалентною парою о моментом що дорівнює алгебраїчній сумі моментів цих пар.

6. Декілька пар сил, що лежать у різних площинах, можна замінити однією еквівалентною парою з моментом, рівним век­торній сумі моментів цих пар.

Приведені властивості пар сил являють собою окремі тео­реми, які ми приводимо без доведення. З їх доведеннями можна познайомитись у повних курсах теоретичної механіки.

Виходячи о перших двох властивостей пар сил, маємо зро­бити висновок про те, що вектор момента пари є вільним век­тором, який зберігає лише свою направленість і може переноситись паралельно самому собі у будь-яку точку.

Виходячи о останньої" (шостої) властивості пар сил, мо­жемо дійти висновку, що векторну суму моментів декількох пар, довільно розміщених у просторі, можна замінити однією еквіва­лентною (рівнодійною) парою сил з моментом, рівним векторній сумі моментів окремих пар:

. (1.15)

Якщо на тіло діють кілька пар сил, і момент рівнодійної пари дорівнює нулю

, (1.16)

то тіло під дією даної системи пар сил перебуває у рівновазі.

Отже, для рівноваги системи пар сил, що діють на тіло, не­обхідно і достатньо, щоб момент рівнодійної пари дорівнював нулю.

Момент сили відносно точки

Обертання тіла можна викликати не лише парою сил, але й окремою силою, коли одну із точок тіла закріпити нерухомо.

Величина момента сили Р відносно центра О дорівнює до­бутку модуля даної сили на плече h :

. (1.17)

Плечем сили називається перпендикуляр, опущений із точки О на лінію дії сили або найкоротша відстань між точкою О і лінією дії сили (рис. 1.19).

Рис. 1.19.

Знак момента сили відносно точки визначається, як і у ви­падку пари сил, напрямом обертання тіла навколо точки О: при обертанні проти годинникової стрілки - знак "плюс", за го­динниковою стрілкою - "мінус". Отже момент сили відносно точки, як і момент пари сил, має величину і напрям, а тому є векторною величиною.

Вектор момента сили відносно точки перпендикулярний до площини, в якій лежать дана точка і сила, і направлений у той бік, звідки обертання тіла під дією сили відбувається проти годинникової стрілки.

Момента сили як векторного добутку

Приведене вище визначення момента сили відносно точки як алгебраїчної величини, рівної добутку модуля сили на плече і взятої зі знаком "плюс" чи "мінус" в залежності від напряму обертання, влаштовує нас у випадку, коли сили, що діють на тіло лежать в одній площині. Якщо система сил довільна і просторова, то для характеристики обертальної дії всіх сил на тіло потрібно враховувати площину дії кожної сили. Це буде легко зробити, якщо визначити момент сили відносно точки як векторний добуток радіуса-вектора , проведеного із центра, моментів до точки прикладання сили, і сили . Крім того, таке визначення момента сили відносно точки знадобиться нам у подальшому вивченні теоретичної механіки (у динаміці) як найз­ручніше і найкомпактніше.

Запишемо вираз для момента сили відносно точки О як векторний добуток радіуса-вектора , проведеного із точки О до точки прикладання сили, і вектора сили (рис. 1.20):

. (1.18)

Рис. 1.20.

Модуль цього векторного добутку

. (1.19)

Тут – плече сили, – кут між векторами і .

Отже ми одержали таке ж визначення модуля момента сили відносно точки, як і у формулі (1.17) і ним довели правомірність векторного запису момента сили відносно точки.

Таким чином, вектор моменти сили відносно точки дорів­нює векторному добутку радіуса-вектора , проведеного з да­ної точки до точки прикладання гили, на вектор сили . На­прям вектора момента сили визначається за правилом векторного добутку, тобто він перпендикулярний до площини, в якій лежать точка і сила, і направлений у той бік, звідки поворот першого вектора до другого вектора здійснюється проти го­динникової стрілки найкоротшим шляхом.

Вектор момента сили відносно точки можемо розкласти на компоненти по декартових осях координат

. (1.20)

Тут , , - проекції момента на координатні осі.

Формула (1.18) дозволяє визначити момент ₀ аналітично, розкривши визначник

, (1.21)

де - одиничні орти, - координати точки прикла­дання сили, - проекції сили на осі координат.

Із визначника (1.21) для проекцій момента сили маємо такі вирази:

. (1.22)

Модуль момента сили відносно точки О знаходимо за фор­мулою

. (1.23)

Проекції являють собою моменти сили від­носно координатних осей Ох,, Оу, ,Оz.. Вміння визначати мо­менти сил відносно координатних осей є необхідним для скла­дання рівнянь рівноваги при розв'язуванні задач на просторові системи сил. Однак користуватись формулами (1.22) для цих цілей досить незручно, а тому розглянемо набагато простіший спосіб визначення момента сили відносно осі.