3.Динаміка предмет і задачі динаміки

Динамікою називається розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються закони механічного руху матеріальних об'єктів (матеріальної точки, системи матеріальних точок, твердого тіла) під дією сил, що викликають цей рух. Тому розділ "динаміка" прийнято ділити на три підрозділи відповідно до об'єкту дослідження:

• динаміка матеріальної точки,

• динаміка системи матеріальних точок,

• динаміка твердого тіла.

Особлива вагомість динаміки у інженерній освіті полягає в тому, що у цьому розділі на прикладі механічного руху, як найпростішого руху матерії, студенти немеханічних спеціально­стей вчаться описувати а допомогою диференціальних рівнянь будь-які інші процеси (рухи), які відбуваються в електротехніці, хімії, біології тощо. Крім того, значна увага приділяється до­слідженню динамічних характеристик руху при розв'язуванні (інтегруванні) диференціальних рівнянь та при застосуванні загальних теорем динаміки.

У динаміці об'єднуються знання, набуті студентами в попе­редніх розділах теоретичної механіки - статиці та кінематиці, а також у курсах вищої математики — диференціальному та ін­тегральному численні.

Диференціальні рівняння руху матеріальної точки

Основним методом розв'язування задач динаміки є метод складання і розв'язування диференціальних рівнянь руху. Ці рівняння можна скласти в декартових координатах, в натураль­них чи інших осях, але всі вони виводяться із векторного запису основного рівняння динаміки - другого закону Ньютона:

, (3.1)

де — рівнодійна системи сил, що діють на точку,

т - маса, прискорення точки.

У проекціях на осі декартової системи координат рівняння (3.1) записуються у вигляді трьох диференціальних рівнянь

або

. (3.2)

Тут - проекції вектора прискорення на осі декартової системи координат, суми проекцій всіх сил на ці ж осі.

У проекціях на осі натурального тригранника основне рів­няння динаміки запишеться у вигляді:

або

. (3.3)

Тут - проекції вектора прискорення точки на дотичну, нормаль і бінормаль до траєкторії; - суми проекцій всіх сил на ці осі.

Дві задачі динаміки

Вся величезна кількість задач, які розв'язує динаміка, зво­диться всього-навсього до двох класів задач. Перша (пряма)задача динаміки — за відомими масою і законом руху визна­чити сили ,що діють па точку. Друга (обернена) задача-за заданими силами і масою точки визначити закон її руху.

Перша задача динаміки розв'язується порівняно просто і зводиться до подвійного диференціювання закону руху.

Якщо рівняння руху точки задані координатним способом тобто відомі функції

, (3.4)

то, двічі диференціюючи ці функції по часу, визначимо проекції прискорення . Підставивши ці величини в диференціальні рівняння (3.2), знайдемо невідомі сили. Якщо рух точки заданий натуральним способом, то задача зводиться до визначення прискорень і та подальшого визначення сил.

У другій задачі динаміки за відомими силами необхідне визначити закон руху точки, тобто потрібно застосувати обернену до диференціювання дію - інтегрування.

Розв'язування другої задачі динаміки зводиться до інтегрування диференціальних рівнянь, що описують рух точки. Ця задача часто є досить складною, оскільки диференціальні рівняння легко інтегруються лише у випадку сталих за величиною сил або сил, що є функціями часу. У загальному ж випадку силі залежать від переміщення, швидкості, квадрату швидкості тощо.

Крім того, для правильного розв'язання необхідно вірно записати початкові умови руху, які потрібні для визначення сталих інтегрування, що також потребує деякої кваліфікації.

План (або методика) розв'язування першої і другої динаміки передбачає послідовне виконання таких дій:

1. зобразити точку і показати вектори прикладених до неї активних сил;

2. звільнити матеріальну точку від в'язей і замінити їх дії реакціями;

3. вибрати зручну систему координат (якщо точка рухається по прямій, то одну з декартових осей направляємо вздовж руху точки, якщо ж точка рухається по колу чи по криволінійній траєкторії відомої в кожну мить кривизни то потрібно вибрати натуральні осі );

4. записати у векторній формі основне рівняння руху невільної матеріальної точки (II закон Ньютона, доповнений аксіомою про в'язі), і спроектувати всі вектори на вибрані осі;

У випадку першої задачі динаміки наступним кроком є визначення невідомих сил, тобто завершення розв'язання задачі.

При розв'язуванні другої задачі динаміки мусимо виконати ще кілька кроків:

5. розділити змінні і двічі проінтегрувати диференціальні рівняння руху;

6. записати початкові умови руху точки: початковий час t = 0, початкові координати і початкову швидкість (чи проекції початкової швидкості у випадку криволінійного руху);

7. підставити початкові умови руху в одержані інтеграли і визначити сталі інтегрування ;

8. переписати одержані інтеграли з урахуванням значень сталих інтегрування (записати закон зміни координат і швидкості точки з часом).

На цьому друга задача динаміки по визначенню закону руху точки буде вважатись розв'язаною. Якщо ж необхідно знайти інші параметри руху, наприклад, кінцеву швидкість чи пройдений точкою за вказаний проміжок часу шлях, то потрібно:

5. записати кінцеві умови руху точки (пройдений за час шлях і значення кінцевої швидкості) та підставити ці величини в одержані в п. 7 закони зміни координат і швидкості;

6. визначити необхідні параметри руху.