Принцип даламбера-лагранжа (загальне рівняння динаміки)

Згідно о принципом Даламбера, для будь-якої k-ої точки ме­ханічної системи можемо записати

.

Домножимо цю рівність скалярно на будь-яке можливе пе­реміщення точки і підсумуємо для всіх точок системи

.

Оскільки для механічних систем з ідеальними в'язями сума елементарних робіт реакцій в'язей на можливих переміщеннях дорівнює нулю

,

то одержимо рівняння, яке відоме як загальне рівняння динаміки (або принцип Даламбера-Лагранжа):

, (4.9)

або

. (4.10)

Рівняння (4.9) або (4.10) є результатом об'єднання двох прин­ципів механіки - принципу Даламбера і принципу можливих переміщень Лагранжа і формулюється так: при русі механічної системи з ідеальними в'язями сума елементарних робіт актив­них сил і сил інерції на будь-якому можливому переміщенні то­чок системи дорівнює нулю.

Диференціальні рівняння руху механічної системи в узагальнених координатах (рівняння лагранжа II роду)

Складаючи диференціальні рівняння руху системи ма­теріальних точок у декартових координатах на початку розділу "Динаміка", ми бачили, що кількість цих рівнянь дорівнює ( - кількість точок системи). Якщо ж система невільна, то до цих рівнянь додаються рівняння в'язей і кількість рівнянь досягає ( - кількість в'язей). Розв'язування такої системи рівнянь становить значні труднощі, оскільки зі змен­шенням кількості степенів вільності системи кількість рівнянь не зменшується, а збільшується.

Лагранж у 1788 р. написав свою знамениту книгу "Аналітична механіка", яку Гамільтон назвав науковою по­емою за струнку математичну єдність і внутрішню гармонію побудови. У цій книзі Лагранж, крім принципу можливих пе­реміщень і загального рівняння динаміки, вивів свої славнозвісні рівняння І і II роду. Ця книга і ці рівняння знамениті ще й тим, що Лагранж для побудови своєї механіки не використав жодного малюнка.

Строге виведення рівнянь Лагранжа І і II роду виходить за рамки даного курсу, тому зупинимося лише на деяких основних напрямках на цьому шляху. Спочатку розглянемо застосовані Лагранжем поняття узагальнених координат і узагальнених сил механічної системи.

УЗАГАЛЬНЕНІ КООРДИНАТИ. Положення і рух механіч­ної системи, що складається з матеріальних точок, визна­чається декартовими координатами. Однак якщо на систему накладені голономні стаціонарні утримуючі в'язі, то рівняння цих в'язей можемо розв'язати відносно декартових координат. Тоді число вільних (незалежних) координат, які визначають по­ложення точок системи, дорівнюватиме . Це число співпадає з числом степенів вільності системи.

При розв’язуванні деяких задач для визначення положення і руху системи замість декартових координат точок можуть використовуватись інші геометричні параметри: кути, площі, об'єми, криволінійні координати тощо.

Будь-які незалежні параметри, які однозначно визнача­ють положення і рух точок системи, називаються узагальне­ними координатами і позначаються буквами . По­хідні від узагальнених координат по часу називаються узагаль­неними швидкостями і позначаються символами з крапкою:

УЗАГАЛЬНЕНІ СИЛИ. Якщо положення і рух кожної точки системи повністю визначається узагальненими координатами , то радіус-вектор k-ої точки системи є функцією цих узагальнених координат:

. (4.11)

Визначимо суму елементарних робіт сил, прикладених до точок системи, на їх можливих переміщеннях:

. (4.12)

Тут - рівнодійна активних сил, прикладених до k-ої точки системи.

Розглядаючи радіус-вектор k-ої точки як функцію узагаль­нених координат, виразимо варіацію радіуса-вектора таким чином:

. (4.13)

Тоді вираз для суми елементарних робіт матиме вигляд

, (4.14)

або, після аміни порядку підсумовування,

. (4.15)

Позначимо внутрішню суму формули (4.15) через на­звемо її узагальненою силою i-ої узагальненої координати, тобто

. (4.16)

Тепер вираз для суми елементарних робіт активних сил системи запишеться у вигляді

. (4.17)

Таким чином, для механічних систем з ідеальними голономними стаціонарними утримуючими в'язями узагальненою силою називається коефіцієнт у виразі елементарної роботи актив­них сил системи на можливому переміщенні (варіації) даної узагальненої координати. Кількість узагальнених сил дорівнює кількості узагальнених координат.

Наприклад, кривошип має одну степінь вільності (може лише обертатись навколо нерухомої осі) і його узагальненою коорди­натою є кут повороту , а узагальненою силою - момент сил, що діють на кривошип і викликають його обертання.

ПОБУДОВА РІВНЯНЬ ЛАГРАНЖА II РОДУ. Запишемо загальне рівняння динаміки

(4.18)

або

. (4.19)

Згідно з рівністю (4.17), можемо записати

, (4.20)

де ( - кількість точок системи), ( - кількість узагальнених координат).

Вираз перетворимо так:

(4.21)

Це перетворення стане очевидним, коли ми наведемо приклад диференціювання добутку двох функцій і :

На підставі тотожностей Лагранжа

та . (4.22)

проведемо ряд перетворень виразу (4.21), які ми тут випус­каємо, відсилаючи студента до повних курсів теоретичної ме­ханіки (напр., [17]), і врешті-решт одержимо

. (4.23)

Тут - кінетична енергія механічної системи, яка скла­дається із матеріальних точок.

Підставляючи вирази (4.20) та (4.23) у рівняння (4.19), от­римаємо

. (4.24)

Оскільки довільні і незалежні, то запишемо кінцевий вигляд формули, яка називається рівнянням Лагранжа II роду:

. (4.25)

Тут

- узагальнені координати;

, де - число узагальнених координат, яке дорівнює числу степенів вільності системи;

- узагальнена швидкість;

- узагальнена сила - скалярна величина, яка являє со­бою коефіцієнт при варіаціях узагальнених координат у виразах елементарної роботи.

Читання математичного запису рівняння Лагранжа II роду (4.25) може бути таким: похідна по часу від частинної похідної кінетичної енергії системи по узагальненій швидкості мінус частинна похідна від кінетичної енергії по узагальненій коор­динаті дорівнює узагальненій силі.

Ці рівняння являють собою систему звичайних диферен­ціальних рівнянь невільної системи матеріальних точок при на­явності утримуючих ідеальних голономних в'язей. Кількість ди­ференціальних рівнянь, які можуть бути складені за допомогою формалізму Лагранжа, дорівнює кількості узагальнених коорди­нат, тобто кількості степенів вільності системи.

МЕТОДИКА СКЛАДАННЯ рівнянь Лагранжа II роду. Для складання диференціальних рівнянь руху системи в узагальне­них координатах пропонується виконання певної послідовності чисто формальних математичних дій (не вдаючись, як писав сам Лагранж, ні до геометричних, ні до механічних міркувань, а ви­користовуючи лише алгебраїчні операції):

1. З'ясувати характер в'язей, накладених на механічну си­стему (рівняння Лагранжа можна застосовувати лише тоді, коли в'язі ідеальні і голономні).

2. Визначити число степенів вільності системи.

3. Вибрати узагальнені координати і визначити узагальнені швидкості.

4. Визначити кінетичну енергію системи і виразити її через узагальнені координати і швидкості.

5. Надати точкам системи одного з можливих переміщень і визначити елементарну роботу активних сил, прикладених до точок системи.

6. Виписати узагальнені сили, що відповідають узагальне­ним координатам.

7. Визначити частинні похідні і та похідну .

8. Підставити всі одержані величини у формулу (4.25) і записати диференціальні рівняння руху механічної системи.

На закінчення можемо констатувати, що диференціальні рів­няння руху механічних систем в узагальнених координатах - рівняння Лагранжа II роду - можна скласти, знаючи загальний вираз лише двох величин: кінетичної енергії системи і роботи сил на можливих переміщеннях. Число цих рівнянь мінімальне і дорівнює числу степенів вільності системи. Разом з тим, рів­няння Лагранжа досить загальні: їх можна використовувати для різних фізичних систем, зокрема електромагнітного поля. Крім того, опис руху невільної механічної системи у формі рівнянь Лагранжа II роду має чітку математичну структуру, а тому їх розв'язування (інтегрування) є достатньо визначеним, щоб досліджувати його чисто математично.