Можливі переміщення. Ідеальні в'язі

В аналітичній механіці широко використовується поняття можливого переміщення. У випадку стаціонарних утримуючих в'язей можливими (або віртуальними) переміщеннями назива­ються нескінченно малі уявні переміщення, які допускаються накладеними на точки системи в'язями в даний момент часу. При цьому слід мати на увазі, що можливі переміщення (на від­міну від дійсних переміщень, які є наслідком дії сил), являють собою деякий геометричний образ, не зв'язаний ні з рухом, ні зі зміною самих в'язей. Наприклад, для годинникової стрілки, шарнірно закріпленої одним кінцем, можливими переміщеннями є два нескінченно малі повороти : один за ходом годинника і другий - проти ходу.

Якщо в'язь не є утримуючою, то матимемо на увазі пе­реміщення, які можливі без звільнення від в'язі. Наприклад, для тіла, підвішеного на нитці, можливим переміщенням є нескін­ченно мала дуга , відміряна вліво чи вправо від вертикального положення рівноваги. Незважаючи на те, що нитка не є утри­муючою в'яззю (допускає переміщення тіла вгору), поки нитка натягнута, вона діє так, ніби вона є утримуючою в'яззю. З того моменту, коли натяг нитки стає рівним нулю, можемо вважати, що в'язі не існує і тіло може рухатись як вільне.

У загальному випадку можливе переміщення позначається - уявний нескінченно малий приріст радіуса-вектора точки. Можливі переміщення узагальнених координат, які ми будемо розглядати при складанні рівнянь Лагранжа II роду, часто називають варіаціями координат.

Тепер розглянемо поняття ідеальних (або досконалих) в'язей. Як відомо зі статики, в результаті накладання на тіло в'язей з'являються сили, які називаються реакціями в'язей. Най­простішим прикладом ідеальної в'язі є гладенька поверхня, для якої силою тертя можна знехтувати. Реакція гладенької поверхні перпендикулярна до цієї поверхні, тобто перпендикулярна до будь-якого можливого переміщення по ній. Робота реакції гладенької поверхні на переміщенні тіла по цій поверхні дорів­нюватиме нулю.

Таким чином, з наведеного прикладу ми можемо зробити вис­новок, що ідеальними в'язями називаються такі в'язі, для яких сума елементарних робіт їх реакцій на будь-якому можливому переміщенні дорівнює нулю.

Принцип можливих переміщень (загальне рівняння статики)

Статика твердого тіла (або геометрична статика), яка при­ведена в першому розділі курсу і якою ми завдячуємо працям Луі Пуансо (1777-1859), являє собою дуже просту і зручну для використання систему. Але основний метод статики - складання шести рівнянь рівноваги для одного тіла, на яке діє довільна просторова система сил, стає дуже громіздким у тих випадках, коли розглядається конструкція із декількох або ж багатьох тіл. Тобто, при наявності тіл складання системи рівнянь і їх розв'язання є досить громіздкою задачею.

Крім того, у більшості прикладних задач механіки не по­трібне знання всіх сил і реакцій в'язей, а лише тих, що ціка­влять інженера - конструктора. Ось чому особливого значення набуває метод аналітичної статики, оснований на використанні принципу можливих переміщень. Цей принцип можемо отри­мати із наведеного вище принципу Даламбера - рівняння (4.7). Для випадку, коли точки системи знаходяться у спокої або ру­хаються рівномірно і прямолінійно, тобто при відсутності сил інерції, маємо записати:

.

Тут - рівнодійна активних сил, - рівнодійна реакцій в'язей. Домноживши цю рівність скалярно на можливе пе­реміщення будь-якої k-ої точки системи і підсумувавши для всіх точок системи, отримаємо

.

Якщо на точки системи накладені ідеальні в'язі, то, згідно з визначенням ідеальності в'язей, сума елементарних робіт ре­акцій в'язей на можливих переміщеннях системи дорівнює нулю . Отже, матимемо такий математичний вираз прин­ципу можливих переміщень (або загального рівняння статики):

або . (4.8)

який читається так: для рівноваги механічної системи з ідеаль­ними в'язями необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума еле­ментарних робіт всіх активних сил на можливих переміщеннях точок системи дорівнювала нулю.