Принцип даламбера

Як ми вже говорили, основний закон механіки - (II закон Ньютона) - був відкритий Ньютоном стосовно до руху вільної матеріальної точки чи тіла, тобто для задач небесної механіки. Але після того, як була додатково сформульована аксіома про звільнення від в'язей, Жан Лерон Даламбер (1717-1783) запро­понував дуже зручний метод (або принцип), який дозволив фор­мально звести задачі динаміки до рівнянь рівноваги, тобто до рівнянь статики.

У деяких книгах принцип Даламбера іменується принципом Германа-Ейлера-Даламбера, оскільки ним задовго до Даламбера користувались, але ніде цього не опублікували, петербурзькі ака­деміки Я.Ґерман (1716 р.) та Л.Ейлер (1737 р.).

Запис принципу Даламбера можемо одержати шляхом таких нескладних дій. Запишемо диференціальне рівняння руху не­вільної матеріальної точки, на яку діють активні сили Р і реакції в'язей

(4.1)

і перепишемо цю рівність таким чином:

. (4.2)

Оскільки добуток , взятий зі знаком"мінус", теж має розмірність сили, то цю сипу було названо даламберовою силою інерції

. (4.3)

Силою інерції називається векторна величина, яка дорів­нює добутку маси точки на її прискорення і направлена протилежно прискоренню.

Рівність (4.2) є математичним записом принципу Даламбера для матеріальної точки:

. (4.4)

Формулювати принцип Даламбера можемо так: у кожний мо­мент часу активні сили і реакції в'язей, що діють на точку, зрівноважуються силами інерції.

Якщо точка рухається по криволінійній траєкторії, то її прискорення складається із суми двох прискорень - дотичного (тангенціального) і нормального. Відповідно до цього сили інер­ції також називають тангенціальними і нормальними (або від­центровими) силами інерції. За модулем ці сили інерції від­повідно дорівнюють:

. (4.5)

Якщо точка належить тілу, що обертається навколо осі, то модулі її тангенціальної і відцентрової сил інерції визначаються через параметри обертального руху тіла

. (4.6)

Тут R - відстань від точки до осі обертання, і - кутова швидкість, і кутове прискорення тіла.

Для системи матеріальних точок принцип Даламбера запи­сується у вигляді системи двох векторних рівнянь, що зв'язують між собою активні сили, реакції в'язей, сили інерції та моменти цих сил відносно деякого центра О:

(4.7)

При практичному розв'язуванні задач рівняння (4.7) запи­сують у проекціях на осі декартової системи координат, або на осі натурального тригранника , або на будь-які інші осі.

Класифікація в'язей

Перш ніж перейти до розгляду інших принципів механіки, по­знайомимось із характером механічних в'язей, які можуть бути накладені на точки системи. Усі в'язі, що обмежують положення або рух матеріальних об'єктів, математично описуються так званими рівняннями в'язей, у які в загальному випадку можуть входити час руху об'єкта, його координати і швидкості:

.

У кожному конкретному випадку, в залежності від виду цієї функції, в'язі розрізняють (класифікують) так:

• геометричні чи кінематичні;

• стаціонарні чи нестаціонарні;

• голономні чи неголономні;

• утримуючі чи неутримуючі.

Геометричними в'язями називають в'язі, до рівнянь яких входять тільки координати і можливо час руху матеріального об'єкта. Наприклад, рівняння в'язі для математичного маят­ника сталої довжини з підвісом у початку координат має вигляд або .

Кінематичними (або диференціальними) називаються в'язі, які накладають обмеження на швидкості точок, до рівнянь яких входять перші похідні від координат. Наприклад, при коченні циліндра без проковзування по нерухомій площині швидкість центра циліндра і його кутова швидкість зв'язані між собою за­лежністю, яка є рівнянням даної в'язі: або .

Стаціонарні в'язі - це в'язі, до рівнянь яких час явно не входить, а нестаціонарні - до рівнянь яких час входить у яв­ному вигляді. Наведені вище приклади рівнянь в'язей матема­тичного маятника і колеса є прикладами стаціонарних в'язей. Прикладом нестаціонарної в'язі може бути математичний маят­ник, підвішений на нитці, яка змінює свою довжину (втягується в отвір, що співпадає з точкою підвісу).

До голономних належать всі геометричні в'язі, а також ті з кінематичних в'язей, які шляхом інтегрування можуть бути приведені до геометричних. До неголономних належать ті кіне­матичні в'язі, рівняння яких не можуть бути проінтегровані. Прикладом неголономної в'язі може служити куля, що котиться по площині без просковзування. Однак циліндр, що котиться без просковзування по площині, є прикладом голономної в'язі, оскільки рівняння в'язі допускає інтегрування х = .

Утримуючою (або двобічною) в'яззю називається в'язь, дія якої на тіло не може припинитись. Прикладом утримуючої в'язі є математичний маятник, підвішений на невагомому (ідеаль­ному) стержні. Неутримуючою (або однобічною) в'яззю є в'язь, від якої тіло може звільнитися. Прикладом неутримуючої в'язі є площина, по якій рухається тіло, що може залишити цю пло­щину.