4. Принципи механіки

Принцип - це основне, вихідне положення будь-якої на­уки. Принципами механіки називаються загальні положення, які містять у собі повну інформацію про механічний рух чи рівно­вагу матеріальних об'єктів. Різні принципи механіки можуть бути рівноцінні між собою або відрізнятись один від другого степенем загальності.

В основу побудови механіки як науки положені декілька за­гальних принципів, прикладом яких може служити принцип Да­ламбера для невільної матеріальної точки. Цей принцип являє собою не що інше, як другий закон Ньютона, доповнений ак­сіомою про звільнення від в'язей. Однак, якщо положити прин­цип Даламбера в основу побудови механіки невільної системи матеріальних точок, то ми зіткнемося зі значними труднощами. Подолання цих труднощів можливе лише при конкретизації характеру накладених на точки системи в'язей і формулюванні загальних принципів механіки, в яких, на відміну від принципу Даламбера, ця конкретизація автоматично враховується для си­стеми в цілому, а не для кожної точки зокрема. Як виявилось, такого типу конкретизація характеру в'язей можлива в їх част­ковій ідеалізації.

Стосовно питання ідеалізації в'язей, то ми з цим уже зустрічалися у статиці. До ідеальних в'язей ми віднесли в'язі у вигляді абсолютно гладеньких поверхонь або ліній, гнучких нерозтяжних ниток, ідеальних стержнів. Абсолютно шорстка нерухома поверхня є прикладом ідеальної в'язі для тіла, що ко­титься по ній без проковзування (точка контакту тіла з поверх­нею миттєво стає нерухомою).

У статиці ми розглядали найпростіші в'язі і знаходили їх ре­акції. Однак у більшості випадків при дослідженні руху механіч­них систем визначення реакцій в'язей не є необхідним. Тому виникло питання про пошуки такого методу розв'язування задач динаміки невільної механічної системи, при якому реакції в'язей автоматично виключались би з розгляду. І такий метод був знайдений Жозефом Луї Лагранжем (1736-1813), осново­положником нової механіки, названої, на відміну від класичної, аналітичною механікою.

Аналіз механічних в'язей показав Лагранжу, що більшість з них мають одну чудову властивість, а саме: сума елементар­них робіт реакцій в'язей на нескінченно малих можливих (або віртуальних) переміщеннях системи дорівнює нулю. Такі в'язі були названі ідеальними. Застосування поняття можливих пе­реміщень викликане тим, що коли на механічну систему накла­дені в'язі, то дана система не в змозі здійснювати будь-які пе­реміщення, оскільки в'язі допускають лише деякі переміщення точок системи.

До загальних принципів механіки, крім принципу Далам­бера, належать принцип Лагранжа (або принцип можливих пе­реміщень, який називають загальним рівнянням статики), а також принцип Даламбера-Лагранжа, відомий як загальне рів­няння динаміки. Ці три принципи лягли в основу аналітичної механіки, яка збагатила науку новими могутніми методами.

Аналітична механіка - це розділ механіки, який, за словами його творця Лагранжа, "не потребує ні побудов, ні геометрич­них або механічних міркувань, а потребує лише алгебраїчних операцій, підпорядкованих планомірному і одноманітному ходу". Блискучим підтвердженням цього є метод побудови диферен­ціальних рівнянь руху механічної системи в узагальнених ко­ординатах (рівняння Лагранжа II роду).