Теорема про рух центра мас системи

Центром мас (або центром інерції) системи матеріальних то­чок називається точка, в якій умовно зосереджена маса всіх то­чок системи і положення якої визначається з формул, аналогіч­них до формул для визначення центра ваги в статиці

(3.145)

або в координатній формі

.

Тут - відповідно радіус-вектор і його проекції - координати центра мас системи, - маса к-ої точки системи.

З формули (3.145) можемо записати

або . (3.146)

Тут - маса системи.

Тепер якщо записати диференціальні рівняння руху k-ої точки системи під дією зовнішніх і внутрішніх сил

(3.147)

і підсумувати ліві і праві частини цих рівнянь для всіх точок системи

, (3.148)

а потім в лівій частині рівняння переставити місцями знаки суми і диференціювання, то одержимо вираз:

. (3.149)

Тут - головний вектор зовнішніх сил, = 0 - голов­ний вектор внутрішніх сил, який внаслідок властивостей вну­трішніх сил системи дорівнює нулю.

Враховуючи вираз (3.146), а також рівність , пере­пишемо формулу (3.149) у такому вигляді

, (3.150)

або

. (3.151)

Тут - прискорення центра мас системи.

Вираз (3.151) являє собою теорему про рух центра мас си­стеми, яка формулюється так: добуток маси системи на при­скорення центра мас дорівнює рівнодійній всіх зовнішніх сил, що діють на точки системи.

Порівнюючи (3.151) з диференціальним рівнянням руху точки, яке у векторній формі має вигляд , ми ба­чимо, що центр мас системи рухається подібно до матеріаль­ної точки, маса якої дорівнює масі системи, під дією зовнішніх сил, прикладених до точок системи.

Якщо ліву частину (3.151) переписати так:

,

то теорему про рух центра мас можемо легко перетворити на теорему про зміну кількості руху системи

, aбо . (3.152)

Тут - кількість руху системи матеріальних точок. У цьому легко переконатися, зробивши ряд простих дій з ураху­ванням виразу (3.146):

.

Закон збереження руху центра мас

Причиною однієї з найбільш поширених помилок є незнання; закону збереження руху центра мас. Одним з прикладів не­розуміння цього закону було порівняно недавнє (початок 60-х, років) сенсаційне відкриття "машини Діна", розрекламованої в США як "майбутнє авіації", яка нібито могла підніматися вгору без втручання зовнішніх сил.

Запишемо теорему про рух центра мас системи матеріаль­них точок у вигляді

, (3.153)

У випадку рівності нулю головного вектора зовнішніх сил швид­кість центра мас є сталою величиною

або . (3.154)

Якщо на початку руху система знаходилась у спокої , тобто якщо

, то . (3.155)

Тут - радіус-вектор центра мас.

Отже у випадку, коли головний вектор зовнішніх сил і по­чаткова швидкість центра мас дорівнюють нулю, положення центра мас системи залишається незмінним при будь-яких пе­реміщеннях точок всередині системи.

Якщо дорівнює нулю лише одна з проекцій головного вектора зовнішніх сил на будь-яку координатну вісь (наприклад, на вісь Ох), то будемо мати закон збереження проекції швидкості центра мас на цю вісь ( ). Якщо ж проекція швид­кості на дану вісь на початку руху дорівнювала нулю ( = 0), то матимемо закон збереження даної координати центра мас ( ).