Закон збереження момента кількості руху

Якщо головний момент зовнішніх сил системи дорівнює нулю , то з теореми про зміну момента кількості руху системи

маємо:

, звідки . (3.136)

Якщо одна з проекцій головного момента зовнішніх сил на якусь вісь дорівнює нулю, наприклад , то

, звідки . (3.137)

Отже, у випадку рівності нулю головного момента зовнішніх сил (або його проекції на якусь вісь) кінетичний момент системи зберігає ту свою величину, яку система мала на початку руху, тобто має місце закон збереження момента кількості руху си­стеми матеріальних точок або закон збереження його проекції на якусь із осей координат. Цей закон можна записати і для окремої матеріальної точки, якщо момент рівнодійної сил, що діють на точку, дорівнює нулю. Особливо зручно користуватися цим законом у випадку дії на точку так званої центральної сили, тобто сили, лінія дії якої весь час проходить через деяку точку (центр). Прикладом такої, сили є сила притягання, яка діє на планети сонячної системи з боку Сонця.

Кінетичний момент тіла, що обертається навколо осі

Кінетичний момент (або момент кількості руху) тіла є од­нією з основних динамічних характеристик тіл, що обертаються. Для визначення цього момента розглянемо тверде тіло, що обер­тається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю . Момент кількості руху k-ої точки тіла відносно осі визна­чається з формули

, (3.138)

де - кількість руху k-ої точки, - найкоротша відстань від точки до осі обертання (плече). Згідно з формулою Ейлера, модуль швидкості k-ої точки тіла тому вираз (3.138) перепишемо так:

, або . (3.139)

Тут - момент інерції k-ої точки тіла відносно осі обертання.

Підсумувавши моменти кількостей руху всіх точок тіла, одержимо кінетичний момент тіла, що обертається навколо осі :

, (3.140)

або

. (3.141)

Тут - момент інерції тіла відносно осі . Таким чином, при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі його кінетичний момент дорівнює добутку момента інерції тіла відносно осі на кутову швидкість обертання.

Диференціальне рівняння обертального руху тіла навколо осі

Для запису диференціального рівняння обертального руху розглянемо тверде тіло, що обертається навколо осі з ку­товою швидкістю і знаходиться під дією системи зовнішніх сил.

Скористаємося теоремою про зміну момента кількості руху тіла відносно осі :

. (3.142)

Кінетичний момент тіла відносно осі дорівнює добутку осьового момента інерції тіла , який є сталою скалярною вели­чиною, на кутову швидкість обертання: . Підставивши це значення у (3.142), одержимо

, (3.143)

звідки

або . (3.144)

Тут - кутове прискорення обертального руху тіла.

Рівняння (3.144) являє собою диференціальне рівняння обер­тального руху тіла навколо нерухомої осі Оz і може читатися так: добуток момента інерції тіла відносно осі обертання на кутове прискорення дорівнює моменту всіх зовнішніх сил від­носно осі обертання.

Формула (3.144) показує, що при заданому моменті зовніш­ніх сил чим більший момент інерції , тим менше кутове прискорення обертального руху тіла і навпаки. Отже, момент інерції при обертальному русі тіла відіграє ту ж саму роль, яку маса відіграє при поступальному русі, тобто момент інерції є мірою інертності тіла при обертанні.