Теорема про зміну кількості руху точки

Розглянемо наступну теорему динаміки - теорему про зміну кількості руху. В основному рівнянні динаміки для ма­теріальної точки

маса точки , а прискорення . Перепишемо цю рівність у вигляді

. (3.115)

Тут - кількість руху точки, яка є векторною величиною і дорівнює добутку маси точки на її швидкість.

Рівність (3.115) являє собою теорему про зміну кількості руху точки в диференціальній формі і може бути сформульо­вана так: похідна по часу від кількості руху точки дорівнює рівнодійній всіх сил, що діють на точку.

Розділивши змінні та проінтегрувавши вираз в означених границях, одержимо теорему про зміну кількості руху точки в інтегральній формі

, (3.116)

звідки

. (3.117)

Тут - імпульс рівнодійної сили, а - елементарний імпульс сили.

У формі (3.117) теорема про зміну кількості руху точки відома як теорема імпульсів і формулюється так: зміна кількості руху точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу рівнодійної сили за той же проміжок часу.

Проектуючи векторні величини формули (3.117) на осі декартової системи координат, одержимо запис теореми у координат­ній формі

, (3.118)

яка широко використовується при дослідженні руху суцільних середовищ.

Теорема про зміну кількості руху системи

Як нам відомо, системою матеріальних точок називається така їх сукупність, при якій положення і рух однієї точки зале­жить від положення і руху інших, тобто положення і рух точок взаємозв'язані. Якщо система складається з п матеріальних точок, то для; кожної k-ої точки можна записати основне рівняння динаміки

(3.119)

Тут і - маса і швидкість k-ої точки , I - відповідно рівнодійні зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на точки системи.

Склавши почленно векторні рівності (3.119), одержимо для всіх n точок системи

, (3.120)

або

. (3.121)

Тут - кількість руху системи, яка дорівнює векторній сумі кількостей руху точок системи,

- головний вектор зовнішніх сил прикладених до точок системи,

головний вектор внутрішніх сил який дорівнює нулю внаслідок попарної рівності за модулем і протилежності за напрямом внутрішніх сил системи.

Рівність (3.121) являє собою теорему про зміну кількості руху системи в диференціальній формі і формулююється так: похідна по часу від кількості руху системи дорівнює головному вектору зовнішніх сил, що діють на точки системи.

Спроектувавши рівність (3.121) на декартові осі, маємо тео­рему про зміну кількості руху системи в проекціях на осі:

. (3.122)

Розділивши у формулі (3.121) змінні і проінтегрувавши у визначених границях, одержимо теорему про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:

, (3.123)

або

. (3.124)

Тут і - початкова і кінцева кількості руху системи, - імпульс зовнішніх сил за даний проміжок часу.

Теорема імпульсів для системи матеріальних точок форму­люється так: зміна кількості руху системи матеріальних то­чок за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу зовнішніх сил, що діють на точки системи за той же проміжок часу.

У проекціях на координатні осі формула (3.124) має вигляд:

. (3.125)

Теорема імпульсів у вигляді (3.124) чи (3.125) широко вико­ристовується в теорії удару, в гідродинаміці, при вивченні руху суцільних середовищ тощо.

Диференціальна форма теорем про зміну кількості руху точки і системи матеріальних точок (рівняння (3.115), (3.121) і (3.122)) найчастіше використовується при розв'язуванні задач, в яких має місце закон збереження кількості руху точки чи си­стеми.