Робота сили

При використанні теореми про зміну кінетичної енергії точки чи системи необхідно вміти обчислювати роботу, яку ви­конують прикладені сили на даних переміщеннях.

Елементарна робота сили на елементарному переміщенні дорівнює скалярному добутку цих величин

,

або, розкриваючи модуль скалярного добутку двох векторів, одержимо

. (3.66)

Тут – кут між напрямом сили i напрямом переміщення . Позначивши проекції сили на осі декартової системи координат через , а проекції елементарного переміщення через ,можемо записати вираз для елементарної роботи у вигляді

. (3.67)

Дещо інший вираз елементарної роботи отримаємо, якщо запишемо елементарне переміщення . Тоді матимемо:

, (3.68)

оскільки - елементарне переміщення точки.

З формул (3.68) видно, що робота може бути додатньою, від'ємною чи рівною нулю в залежності від кута між векто­ром сипи і напрямом переміщення:

• якщо напрям сили і напрям руху співпадають ( < ), то робота додатня;

• якщо сила перпендикулярна до переміщення ( ) - робота сили дорівнює нулю;

• якщо сила протидіє переміщенню ( < ) - робота сили від'ємна.

Повною роботою сили на скінченному переміщенні точки, від до буде інтегральна сума елементарних робіт

. (3.69)

Застосуємо одержані вирами до визначення роботи таких найбільш поширених силових проявів, як сила ваги, сила пруж­ності, момент сили тощо.

Робота сили ваги

Нехай точка , на яку діє сила ваги , перемістилась із положення з координатами , в положення з координатами (рис. 3.7).

Елементарна робота сили ваги, згідно з формулою (3.67), дорівнює

. (3.70)

Оскільки , а , то повна робота

. (3.71)

Т ут - висота, на яку опустилася точка під дією сили ваги . Якщо, незважаючи на дію сили , точка буде підніма­тися від до , то робота сили буде від'ємною.

Рис. 3.7.

Отже ми встановили, що робота сили ваги не залежить від форми траєкторії, а лише від кінцевого переміщення по ви­соті. Знак роботи сили ваги додатній при русі тіла вниз і від'ємний при підйомі вгору: .

Робота сили пружності

Розглянемо матеріальний об'єкт (точку М), який лежить на горизонтальній гладенькій площині і прикріплений до нерухомої стіни пружиною з жорсткістю с (див. рис. 3.1).

При переміщенні точки із положення рівноваги вліво чи вправо виникає сила пружності , протилежна цьому переміщенню. Оскільки проекції вектора сили на осі коор­динат , а проекція , то елементарна робота сили пружності

. (3.72)

Повна робота

, (3.73)

або остаточно

. (3.74)

Отже, робота сил пружності дорівнює половині добутку коефіцієнта жорсткості на квадрат розтягу чи стиску пружини.

Робота сили при обертанні тіла (робота момента сили)

Нехай на тверде тіло, що має нерухому вісь Оz, діє сила , яка не паралельна осі і не перетинає її. Під дією цієї сили тіло повернеться на деякий кут , а точка прикладання сили пе­реміститься із положення в положення , описавши при цьому дугу

. (3.75)

Тут R - найкоротша відстань (плече) від лінії дії сили до осі .

Елементарна робота сили на переміщенні ds

, (3.76)

де - момент сили відносно осі .

Повна робота

, (3.77)

або

. (3.78)

Таким чином, робота сили при обертанні тіла навколо осі дорівнює добутку момента сили відносно даної осі на кут по­вороту тіла.

Аналогічне правило можемо сформулювати для визначення роботи пари сил: робота момента пари сил на деякому пово­роті тіла навколо осі дорівнює добутку модуля момента пари на кут повороту тіла.