Аналогії між коливальними процесами різної фізичної природи

У природі мають місце не лише механічні коливання, але й електромагнітні, акустичні, навіть біологічні та хімічні коливальні процеси. Коливальні рухи різної фізичної природи мають деякі спільні закономірності, які характеризують повторюваність стану змінних у часі об'єктів. Ця спільність механічних, електромагнітних, акустичних та інших коливальних процесів виражається аналітично у формі аналогій між відповідними диференціальними рівняннями.

Аналогію між диференціальними рівняннями, які описують коливання різної фізичної природи, не можна вважати чисто формальною. Вона, очевидно, відображає спільність деяких об’єктивно існуючих у природі закономірностей, які притаманні різним коливальним системам.

Вперше гіпотезу про відповідність між електричним контуром і механічною коливальною системою висунув у 1873 р. Джеймс Максвел. В основу такої аналогії він поклав від­повідність між електричним струмом і швидкістю матеріальної точки. У сучасних курсах основ електротехніки показано, що коливання простого електричного контура описуються диференціальними рівняннями, аналогічними рівнянням механічних коливань точки, розглянутих нами вище. Тому всі результати, одержані у розділі про механічні коливання точки, можуть бути використані в електротехніці.

Рис. 3.6.

Диференціальне рівняння, яке характеризує коливання, що виникають при дії періодичної електрорушійної сили в елек­тричному ланцюзі, складеному із джерела змінної напруги та послідовно з'єднаних котушки самоіндукції L, активного опору R і конденсатора ємністю С (рис. 3.6), має вигляд

(3.51)

який легко можемо переписати у вигляді диференціального рів­нянні (3.46) вимушених коливань точки з урахуванням опору середовища:

.

Тут - електричний заряд конденсатора, .

Якщо у цьому рівнянні покласти і , то одержимо диференціальне рівняння, яке аналогічне диференціальному рів­нянню (3.7) вільних механічних коливань точки. Коли покласти рівною нулю величину , то одержимо рівняння коливань в електричному контурі, аналогічне диференціальному рівнянню затухаючих коливань точки (3.22). Нарешті, якщо , а електрорушійна сила , то рівняння коливань елект­ричного контура аналогічне рівнянню (3.34), яке описує виму­шені коливання точки без урахування опору середовища.

Аналогії між механічними і електричними величинами можна представити у вигляді таблиці:

Механічні параметри Електричні параметри

t – час t - час

х – координата точки q – заряд (вимірюється в кулонах)

– проекція швидкості — струм (вимірюється в амперах)

т – маса L – індуктивність (вимірюється в генрі)

– проекція сили Е – електрорушійна сила (вимірюється в вольтах)

– коефіцієнт в'язкого тертя R – омічний опір (вимірюється в омах)

(рідинного опору)

с – коефіцієнт пружності – де С – ємність (вимірюється в фарадах)

– збурююча сила Е = Е(t) – електрорушійна сила (вимірюється в вольтах)

Тут слід зауважити, що існують і інші системи електроме­ханічних аналогій, які використовуються науковцями для прак­тичних і теоретичних досліджень в електротехніці.

В теорії електромагнітного поля також розглядаються ди­ференціальні рівняння, аналогічні до рівнянь коливальних про­цесів у механіці. Зокрема, у квантовій теорії електромагнітному полю ставлять у відповідність деяку механічну систему, стан якої описується системою диференціальних рівнянь, аналогічних рівнянню (3.7).