Вимушені коливання точки при відсутності опору середовища

Нехай на матеріальну точку, що здійснює прямолінійні вільні коливання під дією пружної сили , діє додаткова сто­роння сила збурення , яка в більшості випадків є не­перервною функцією часу. У практиці такою силою може бути вібрація сусідніх механізмів і агрегатів внаслідок неточного балансування маховиків, роторів електромоторів, турбінних дис­ків або при періодичній зміні тиску води, газу, пари в циліндрах двигунів тощо.

Диференціальне рівняння вимушених коливань точки матиме вигляд

. (3.33)

де H - амплітуда сторонньої сили обурення, p - частота збу­рення.

Розділивши на масу, приведемо це рівняння до стандартного вигляду

. (3.34)

Тут , а .

Розв'язок неоднорідного рівняння (3.34) будемо шукати у ви­гляді суми двох розв'язків: загального розв'язку однорідного рівняння , що описує вільні коливання точки, і ча­стинного розв'язку , що описує вимушені коливання:

. (3.35)

Розв'язок однорідного рівняння вільних коливань нам відо­мий:

. (3.36)

Частинний розв'язок шукаємо у такому ж вигляді, як і права частина рівняння (3.34), тобто у вигляді добутку деякої невідомої сталої D на гармонічну складову :

. (3.37)

Підставляючи розв'язок (3.37) і його другу похідну в диференціальне рівняння (3.34), одержимо вираз для визначення D:

,

звідки

. (3.38)

Отже, частинний розв'язок (3.37) має вигляд

. (3.39)

Складаючи розв'язки (3.36) і (3.39), одержимо повний розв'язок рівняння (3.34)

, (3.40)

який є інтегралом диференціального рівняння вимушених коливань. Для визначення сталих інтегрування продиференцiюємо одержаний вираз:

. (3.41)

Сталі інтегрування і визначимо із початкових умов руху:

при . (3.42)

Підставляючи початкові умови руху у розв'язок (3.40) I його похідну по часу (3.41), одержимо такi значення для і :

. (3.43)

Аналогічно до випадку вільних коливань, виразу (3.40) можна надати амплітудної форми

. (3.43)

З формули (3.44) бачимо, що вимушені коливання точки складаються з суми двох гармонік, причому амплітуда А першої гармоніки залежить не лише від початкових умов і руху, але й від параметрів стороннього збурення:

.

Амплітуда другої гармоніки залежить від співвідношення частот вільних і вимушених коливань. У випадку, коли частота збурення близька до частоти вільних коливань , вираз , а амплітуда вимушених коливань зростає до нескінченності. Це явище носить назву резонансу і відіграє у техніці дуже велику роль.

Вимушені коливання точки при наявності опору середовища

Розглянемо вимушені коливання матеріальної точки, які відбуваються у середовищі, що чинить опір, пропорційний першій степені швидкості .

Якщо матеріальна точка маси т рухається вздовж осі х під дією поновлюючої сили пружності гармонійної збурюючої сили і сили опору середовища R, то диференціальне рівняння руху точки матиме вигляд

(3.45)

або

. (3.46)

Тут введені такі позначення:

. (3.47)

Рівняння (3.46) є лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Загальний розв'язок цього рівняння шукаємо у вигляді суми розв'язків однорідного рівняння і частинного розв'язку неоднорідного диференціального рівняння:

.

Розв'язок однорідного диференціального рівняння

(3.48)

показує, що в залежності від співвідношення між величинами і мають місце три випадки затухаючих коливань (див. формулі (3.26), (3.27), (3.30)).

Частинний розв'язок , що визначає вимушені коливання точки, має вигляд:

. (3.49)

Тут - кругова частота вимушених коливань, - початкова фаза,

- амплітуда вимушених коливань.

Складаючи розв'язки (3.48) і (3.49), отримаємо загальний розв'язок диференціального рівняння (3.46), тобто визначимо закон вимушених коливань точки в опірному середовищі:

1. при

;

2. при

; (3.50)

3. при

.

Сталі інтегрування і визначаються із початкових умов руху.

З наведених розв'язків бачимо, що рух матеріальної точки під дією поновлюючої і збурюючої сил та сили опору середо­вища, пропорційної швидкості точки, являє собою накладання вимушених коливань на затухаючі коливання при або на­кладання вимушених коливань на аперіодичний рух при і .

При усталеному режимі, тобто через достатньо великий проміжок часу після початку руху, результуючий рух точки практично буде складатися лише із вимушених коливань, які опи­суються рівнянням

.

Н а рис. 3.5 проілюстроване накладання затухаючих коливань точки на вимушені коливання для випадку, коли .

Рис. 3.5.