Затухаючі коливання точки

Затухаючі коливання точки мають місце у всіх реальних коливальних системах, оскільки на рухоме тіло завжди діють сили опору навколишнього середовища, зовнішнє і внутрішнє тертя, які призводять до розсіювання енергії в пружній системі.

Звичайно опір середовища (рідини чи газу) пропорційний степені швидкості точки і направлений протилежно швидкості точки:

. (3.19)

Тут - коефіцієнт пропорційності, який визначається експериментально (коефіцієнт так званого в'язкого тертя або рідинного опору).

Диференціальне рівняння, що описує прямолінійні затухаючi коливання точки, має вигляд

. (3.20)

Перенесемо вліво всі члени цього рівняння, розділимо на масу т і введемо такі заміни

. (3.21)

У результаті матимемо рівняння, яке відоме як стандартна форма диференціального рівняння затухаючих коливань точки:

. (3.22)

Диференціальне рівняння (3.22), як і рівняння вільних коливань (3.7), також являє собою лінійне однорідне рівняння другого порядку і його розв'язок будемо шукати у такому ж вигляді

. (3.23)

Підставляючи (3.23) і його похідні в рівняння (3.22), отримаємо характеристичне рівняння відносно :

. (3.24)

Корені рівняння (3.24) визначаються з формули

. (3.25)

Таким чином, розв'язок (3.23) матиме вигляд

. (3.26)

Ця формула показує, що, в залежності від значення підкореневого виразу , можуть мати місце такі три випадки затухаючих коливань:

1. - великий опір;

2. - граничний випадок;

3. - малий опір.

У першому випадку і при функція швидко прямує до нуля, тобто має місце неперіодич­ний (аперіодичний) рух точки. Характер аперіодичного руху точки залежить від початкових умов (рис. 3.3).

Рис. 3.2.

У другому випадку формула (3.25) дасть два однакові корені

і розв'язок (3.23) матиме вигляд

. (3.27)

Рівняння (3.27) також описує неперіодичний рух точки і графік цієї функції якісно не відрізняється від графіка руху точки у випадку великого опору.

У випадку корені (3.25) будуть комплексні і різні:

, (3.28)

а розв'язок(3.23)

,

можемо записати так:

. (3.29)

Тут ; величина є частотою затухаючих коливань.

Застосувавши підстановки Ейлера, рівняння (3.29) перепи­шемо у вигляді

, (3.30)

з якого видно, що має місце гармонічний рух з деяким затухан­ням (при величина ). Графік таких коливань зображено на рис. 3.4, який показує, що амплітуда коливань по­ступово зменшується, прямуючи до нуля.

Рис. 3.4.

Якщо взяти відношення двох сусідніх амплітуд, то одержимо так званий декремент затухання

,

а його логарифм дає логарифмічний декремент затухання

. (3.31)

Період затухаючих коливань знаходиться з формули

. (3.32)

Якщо вираз (3.32) порівняти з виразом Т = , який визначає період вільних коливань точки, то побачимо, що , тобто період затухаючих коливань більший за період вільних коливань. Цією закономірністю користувався Кулон для визначення в'язкості рідин: підвісивши на пружині тонку пластину він примушував її коливатись у повітрі, а потім переносив її у ту рідину, в'язкість якої вимірювалась, і порівнював період коливань.