Визначення швидкостей точок плоскої фігури

Перейдемо до визначення швидкостей точок плоскої фігури. Для цього існує три способи:

• спосіб полюса;

• спосіб рівності проекцій швидкостей;

• спосіб МЦШ.

СПОСІБ ПОЛЮСА. Для визначення швидкостей точок плоскої фігури способом полюса звернемося до векторного запису руху будь-якої точки плоскої фігури (рис. 2.16) :

Рис. 2.16.

. (2.76)

Продиференціювавши цей вираз по часу, одержимо

, (2.77)

або

. (2.78)

Таким чином, швидкість будь-якої точки плоскої фігури дорівнює векторній сумі швидкості поступального руху ра­зом з полюсом і швидкості даної точки при обертанні плоскої фігури навколо полюса.

Згідно з формулою Ейлера, модуль швидкості точки В при обертанні плоскої фігури навколо полюса А знаходиться із ви­разу

, (2.79)

а за напрямом вектор перпендикулярний до радіуса АВ і направлений у бік обертання плоскої фігури.

СПОСІБ РІВНОСТІ ПРОЕКЦІЙ ШВИДКОСТЕЙ. Спосіб полюса оперує векторними величинами і незруч­ний для практичних розрахунків, а тому його краще застосовувати у вигляді проекції векторної рівності (2.78) на напрям відрізка АВ (рис.2.17). Проекції векторів і на напрям відрізка АВ відповідно дорів­нюють пр. , пр. , а проекція вектора , перпендикуляр­ного до відрізка АВ, дорівнює нулю.

Рис. 2.17.

Формула (2.78) після проектування швидкостей на напрям відрізка АВ має вигляд

пр. , або . (2.79)

Таким чином, ми одержали другий спосіб визначення швидко­стей точок плоскої фігури - спосіб рівності проекцій швидко­стей, який формулюється так: проекції швидкостей будь-яких двох точок плоскої фігури на напрям відрізка, що з'єднує ці точки, рівні між собою.

СПОСІБ М.Ц.Ш. Найбільш поширеним у практиці спосо­бом визначення швидкостей точок плоскої фігури є спосіб мит­тєвого центра швидкостей (МЦШ). Суть його полягає в тому, що за полюс обираємо точку Р площини, швидкість якої в даний момент дорівнює нулю . Проблема лише в тому, щоб знайти цю точку.

У розділі про обертальний рух тіла навколо нерухомої осі ми встановили, що вектори швидкостей точок тіла перпендикулярні до їх радіуса обертання. Отже, щоб знайти точку, навколо якої плоска фігура обертається в дану мить (миттєвий центр обертань або МЦШ), потрібно знати на­прями швидкостей хоча б двох її точок, наприклад, точок А і В (рис. 2.18). Провівши з цих точок перпендикуляри до векторів швидкостей і одержимо точку Р їх перетину, яка й буде миттєвим цен­тром обертань (або МЦШ).

Згідно о формулою Ейлера, швидкості точок А і В при миттєвому обертанні плоскої фігури навколо МЦШ (навколо точки Р) будуть такі:

Рис. 2.18.

, (2.81)

де АР і ВР - відстані точок А і В до МЦШ, - миттєва кутова швидкість обертання плоскої фігури навколо МЦШ, яка дорівнює

.

Відношення швидкостей і дасть нам цікаву належність, яка називається теоремою про МЦШ

(2.82)

і формулюється так: відношення швидкостей будь-яких двох точок плоскої фігури дорівнює відношенню відстаней цих точок до МЦШ.

Якщо потрібно визначити швидкість якоїсь іншої точки плоскої фігури (наприклад, точки С) при відомому положенні МЦШ то з'єднуємо цю точку з МЦШ прямою СР. Далі проводимо перпендикулярний до цієї прямої вектор , напрям якого визначається за відомими нам напрямами швидкостей точок А і В при їх русі навколо МЦШ. Модуль швидкості точки С визначимо із теореми про МЦШ:

, звідки .