Рівномірне і рівнозмiнне обертання тіла навколо осі

При рівномірному обертанні тіла навколо осі швид­кість є сталою величиною . Переписавши цей вираз у вигляді проінтегрувавши його, одержимо

або . (2.51)

Тут С - стала інтегрування, яка дорівнює початковому куту по­вороту тіла .

Якщо обертання тіла навколо осі рівнозмінне, тобто якщо кутова швидкість обертання наростає або зменшується однаково за однакові проміжки масу, то можемо записати

. (2.52)

(2.53) (2.54)

(2.55) (2.56)

Розділивши змінні у цьому рiвняннi i проiнтегрувавши його

, (2.53)

одержимо:

або . (2.54)

Тут - початкова кутова швидкість. Оскільки , то можемо записати

, (2.55)

Інтегруючи, одержимо

. (2.56)

Тут - початковий кут повороту тіла.

Таким чином, у випадку рівнозмінного обертання тіла для визначення кутової швидкості і кута повороту маємо формули:

. (2.57)

Ці формули аналогічні формулам (2.40), які визначають параметри рівнозмінного руху точки.

Швидкість точок тіла, що обертається навколо осі (формула ейлера)

Всі точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі, опи­сують навколо цієї осі концентричні кола відповідного радіуса. Розглянемо визначення кінематичних характеристик руху то­чок тіла (швидкість і прискорення) через характеристики обер­тального руху (кутову швидкість і кутове прискорення).

При повороті тіла на деякий кут будь-яка точка цього тіла, що знаходиться на відстані R від осі, описує дугу, довжина якої визначається з формули

, (2.58)

де - кут повороту тіла в радіанах (пригадаймо, що довжина дуги кола дорівнює ).

Згідно з натуральним способом визначення руху точки, мо­дуль її швидкості знаходиться як перша похідна по часу від ду­гової координати

(2.59)

або

. (2.60)

Отже, швидкість будь-якої точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює добутку кутової швидкості на радіус R. Формула (2.60) називається формулою Ейлера для визначення швидкості будь-якої точки тіла при його обертанні.

Цю формулу можна представити у векторній формі як век­торний добуток двох векторів: вектора кутової швидкості і радіус-вектора точки.

Нехай рух точки М твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі (рис. 2.11), визначається радіусом-вектором точки . Iз прямокутного трикутника ОСМ радіус обертання R знай­демо як катет, що лежить навпроти кута , який утворюють вектор кутової швидкості і радіус-вектор

. (2.61)

Рис. 2.11.

Підставивши значення R у формулу (2.60), для швидкості точки М матимемо вираз:

. (2.62)

Але вираз (2.62) являє собою запис модуля векторного добутку двох векторів і :

. (2.63)

Таким чином, ми переконалися у тому, що для визначення швидкості точки М мо­жемо користуватися виразом

, (2.64)

який називають формулою Ейлера у век­торній формі.

Напрям вектора швидкості визначається за правилом век­торного добутку двох векторів і , згідно з яким вектор перпендикулярний до площини, в якій лежать ці вектори і на­правлений у той бік, звідки поворот від першого вектора до вектора здійснюється проти годинникової стрілки.

Із цього правила виходить, що вектор швидкості будь-якої точки тіла, що обертається навколо осі, направлений по до­тичній до кола, яке описує точка, в бік обертання тіла.

Зображуючи вектор швидкості на рисунку, потрібно пам'ятати, що дотичний до кола вектор швидкості є пер­пендикулярний до радіуса кола R (рис. 2.11).