Кінематика твердого тіла

У кінематиці твердого тіла розглядають кілька видів руху, які за складністю можемо записати у такому порядку: поступальний, обертальний навколо нерухомої осі, плоско паралельний, обертальний навколо нерухомої точки та вільний рух тіла.

Якщо всі точки тіла рухаються з однаковою швидкістю, то тіло здійснює поступальний рух. Якщо у тіла нерухомою ли­шається одна його точка, то тіло здійснює обертальний рух на­вколо цієї нерухомої точки. Якщо ж тіло має дві нерухомі точки, то воно обертається навколо нерухомої осі, проведеної через ці точки.

Розглянемо спочатку два найпростіші рухи тіла - посту­пальний рух і обертання навколо нерухомої осі. Комбінація з цих двох рухів дає більш складний рух тіла - плоско-паралельний.

Поступальний рух твердого тіла

Поступальним рухом тіла називається такий рух, при якому довільна пряма, проведена в тілі, рухається паралельно самій собі.

Прикладом такого руху може служити рух кабінок у верти­кальній каруселі: незважаючи на те, що траєкторіями окремих точок кабінки є коло, кабінка рухається поступально, і дно кожної кабінки залишається горизонтальним.

При поступальному русі всі точки тіла описують однакові траєкторії. Щоб переконатися у цьому, проведемо в тілі пряму АВ (рис. 2.8). Положення точок А і В відносно деякого центра О визначимо радіусами-векторами і . Відрізок згідно з припущенням про поступальний рух

твердого тіла. Між і існує залежність

Рис. 2.8.

. (2.42)

Оскільки , то для будь-якого моменту часу тра­єкторію точки В можна визначити з траєкторії точки А (і на­впаки) простим зміщенням на сталий вектор .

Отже, траєкторії точок тіла при поступальному русі одна­кові. Якщо ж однакові траєкторії точок тіла, то напрошується висновок, що і швидкості та прискорення всіх точок тіла, що рухається поступально, також однакові.

У цьому неважко переконатися, визначивши похідну по часу від радіусів-векторів і у виразі (2.42):

. (2.43)

Оскiльки вектор , то .Отже,

, або . (2.44)

Взявши другу похідну від виразу (2.43), переконаємось у рів­ності прискорень всіх точок тіла, яке здiйснює поступальний рух:

. (2.45)

Таким чином, при поступальному русі твердого тіла всі його точки описують однакові траєкторії і рухаються з од­наковими швидкостями і прискореннями. Цей висновок у літе­ратурі відомий як теорема про траєкторії, швидкості та при­скорення точок тіла при поступальному русі і дає можливість описувати рух тіла за рухом однієї його точки. Тому всі зако­номірності, одержані нами у розділі "кінематика точки", спра­ведливі для вивчення поступального руху тіла.

Обертання тіла навколо нерухомої осі

Обертальним рухом тіла навколо нерухомої осі називається рух, при якому принаймні дві його точки лишаються нерухо­мими. Пряма, проведена через ці точки, називається віссю обер­тання. Всі інші точки тіла, що не лежать на осі обертання, опи­сують концентричні кола в площині, перпендикулярній до осі.

Поворот твердого тіла навколо осі можна визначити єдиним способом - вимірявши двогранний кут , який утворюють нерухома півплощина Н із незмінно зв'язаною з тілом рухомою півплощиною Р (рис. 2.9). Цей кут змінюється з часом

, (2.46)

і визначає закон обертального руху тіла навколо нерухомої осі. Кут вимірюється у радіанах або в обер­тах (один повний оберт становить 2 радіан).

Рис. 2.9.

Основними кінематичними харак­теристиками обертального руху тіла є його кутова швидкість (омега) і ку­тове прискорення (епсілон). Кутова швидкість визначає зміну кута з часом. Тобто якщо за проміжок часу тіло здійснює поворот на кут , то середня кутова швидкість дорівнює

. (2.47)

При знаходимо миттєву кутову швидкість тіла

, або . (2.48)

Таким чином, кутова швидкість обертання тіла навколо нерухомої осі дорівнює першій похідній по часу від кута пово­роту. Кутова швидкість вимірюється в радіанах за секунду (рад/сек) або в обертах за хвилину (об/хв). Зв'язок між цими двома одиницями вимірювання здійснюється за формулою пере­ходу від n об/хв до рад/сек.:

. (2.49)

За додатній напрям обертання тіла навколо осі приймається обертання проти годинникової стрілки. Отже, додатнім зна­ченням кутової швидкості буде обертання проти годинникової

стрілки, якщо дивитись на тіло з боку додатнього напряму осі .

Оскільки кутова швидкість має вели­чину (модуль) і напрям, то вона с вектор­ною величиною. Вектор кутової швид­кості направлений вздовж осі обер­тання у той бік, звідки це обертання від­бувається проти годинникової стрілки (рис. 2.10).

Рис. 2.10.

Зміну величини кутової швидкості з часом характеризує кутове прискорення , яке знаходимо аналогічно кутовій швид­кості:

або . (2.50)

Таким чином, кутове прискорення тіла при обертанні навколо осі дорівнює першій похідній по часу від кутової швидкості або другій похідній від кута повороту тіла.

За одиницю вимірювання кутового прискорення приймають радіан за секунду в квадраті (рад/сек²). Вектор кутового прис­корення направлений вздовж осі обертання і збігається з на­прямом вектора кутової швидкості при прискореному обер­танні або протилежний , якщо обертання тіла сповільнене (рис. 2.10).