2. Кінематика предмет і задачі кінематики

Кінематика - це розділ теоретичної механіки, в якому вивчається механічний рух матеріальних об'єктів незалежно від сил, що спричинюють цей рух. Матеріальними об'єктами, рух яких будемо вивчати в кінематиці, є матеріальна точка і абсолютно тверде тіло.

У кінематиці розглядаються дві основні задачі:

1) встановлення математичних залежностей (закону руху) для визначення переміщення точки або тіла відносно вибраної системи координат;

2) визначення кінематичних характеристик руху точки або тіла (траєкторії, швидкості та прискорення) у вибраній си­стемі координат.

Рух точки вважається заданим, якщо вказано спосіб визна­чення її положення у просторі в кожний момент часу. Існує кілька способів визначення руху точки. У кожному випадку розв'язування технічної задачі ми вибираємо для себе найбільш зручну і просту систему відліку, яка найкоротшим шляхом при­веде до вирішення нашої проблеми. Зараз ми докладно розгля­немо три основні способи визначення руху точки - векторний, координатний і натуральний.

Векторний спосіб визначення руху точки

Векторний спосіб дуже зручний при теоретичних виклад­ках, зокрема доведеннях теорем своєю наочністю, простотою і компактністю запису. Крім того, він є базовим для визна­чення кінематичних характеристик руху при застосуванні інших способів. Але векторний спосіб непридатний для безпосередніх розрахунків, і кожного разу потрібно переходити до координатного чи натурального способу визначення руху.

Нехай точка М рухається в просторі по цій траєкторії (рис. 2.1). При цьому зауважимо, що траєкторією називається геометричне місце положень точки під час її руху. Положення нашої точки М в кожен момент часу можемо фіксувати відносно деякої нерухомої точки О відрізком ОМ , який безперервно змінює як свою довжину, так і напрям. Цей відрізок домовились називати радіусом-вектором точки М і позначати . Отже радіус-вектор є функцією часу, а тому встановивши математичну залежність

, (2.1)

ми визначимо закон руху точки у векторній формі.

Рис. 2.1.

Величиною, яка дозволяє кількісно оцінити пройдений точкою шлях за одиницю часу, є швидкість. Тобто швидкість - це фізична величина, що показує, в якому напрямі та на яку відстань перемістилась наша точка у про- сторі за одиницю часу. Швидкість мас величину і напрям, а тому є вектором.

Якщо за час радіус-вектор змінився на величину , то середньою швидкістю точки за час буде векторна величина

. (2.2)

Вектор направлений так само, як і вектор , тобто по орді ММ₁ (рис. 2.2). Зменшуючи проміжок часу , можемо .одержати значення миттєвої швидкості точки

Рис. 2.2.

або . (2.3)

Отже, при векторному способі визначений руху швидкістю точки є похідна по часу від радіуса-вектора.

При прямуванні напрям вектора миттєвої швидкості буде вбігатись з дотичною до траєкторії точки в даний момент часу.

Другою фізичною величиною, що характерніше рух точки, є прискорення, яке показує зміну швидкості точки з часом. Якщо при переміщенні з положення М в положення М₁ за час швид­кість точки змінилася на величину , то відношення приросту вектора швидкості до проміжку часу називається серед­нім прискоренням точки.

При прямуванні отримаємо миттєве прискорення точки

. (2.4)

Отже, прискорення точки при векторному способі визначення руху дорівнює похідній по часу від вектора швидкості або другій похідній від радіуса-вектора

. (2.5)

Якщо траєкторія точки - пряма пінія, то вектор приско­рення збігається з напрямом вектора швидкості при прискоре­ному русі точки та протилежний йому при сповільненому русі. Коли ж траєкторія точки криволінійна, то вектор миттєвого прискорення буде направлений у бік увігнутості траєкторії під деяким кутом до вектора швидкості .