Пример 1.

Построить желаемую ЛАЧХ и записать её передаточную

функцию по следующим данным:

– закон входного воздействия ;

– установившаяся ошибка ;

– коэффициент перерегулирования ;

– время регулирования при допуске t_р ≤ 0,2 с.

Решение. Определим минимальный коэффициент передачи на рабочей частоте ω_р=0,6 с^–1.

С учетом поправки, которую принимаем равной 4дБ, коэффициент передачи на рабочей частоте будет равен (1995,3). По уравнению (7.9) (с начальными условиями ω_р=0,6 с^–1 ; L₁=66 дБ) определяем его свободный член.

Уравнение первой низкочастотной асимптоты

(7.13)

позволит вычислить коэффициент усиления желаемой системы – L_ж (К_ж, дБ), определяемый на частоте ω=1с^–1. Используя (7.13), получим . В безразмерных единицах К_ж = 1196,7. Округляем К_ж =1197.

Считая, что рабочая точка принадлежит также и 2-ой асимптоте, получим её уравнение (7.11).

. Приняв L₂=L_p, а ω = ω_р, получим

Уравнение 2-ой асимптоты окончательно выглядит:

. Это уравнение используется для вычисления второй сопрягающей частоты ω₂, задавшись значением уровня, с которого строится среднечастотная асимптота. Принимаем значение уровня равным 12 дБ, которое и подставляем в последнее равенство.

. Искомая частота ω₂ = 13,44 с^–1. Соответствующая этой частоте постоянная времени Т₂ = 1/ω₂ = 0,074 с. Получим уравнение среднечастотной асимптоты, используя начальные условия: L(ω₂)= 12 дБ

дБ.

Тогда окончательно уравнение среднечастотной асимптоты при-мет вид: .

Из последнего равенства допуская, что среднечастотная аси-мптота претерпевает излом на уровне –12 дБ, вычислим третью частоту сопряжения.

. Из последнего равенства определяется частота ω₃ = 213,1 с^–1. По полученным результатам расчета:

К_ж= 1197 (61,56 дБ); Т₁= 1,67 с.; Т₂ = 0,074 с.; Т₃ = 0,0047 с. записываем первое приближение передаточной функции желаемой системы:

(7.14)

По (7.14) строится желаемая ЛАЧХ (рис.7.4) и моделированием проверяются динамические показатели качества (рис.7.5)

Рис.7.4

Рис.7.5

Полученные результаты: σ = 16,6% <20%; t_p = 0,145 с < 0,2 c. дают основание продолжить синтез корректирующего устройства.

Пример 2. Сформировать желаемую ЛАЧХ по следующим данным:

– максимальная скорость объекта управления – α׳ = 1,2рад/с;

– максимальное ускорение объекта управления – α״ =  0,3 рад/с² ;

– установившаяся ошибка при гармоническом управляющем воздействии – ε_m ≤ 0,0026 рад.;

– коэффициент перерегулирования σ ≤20%;

– время регулирования при допуске t_p ≤ 0,16 c.

Решение. Рассчитаем параметры эквивалентного входного воздействия.

Рабочая частота ;

Амплитуда

Определяем координаты рабочей точки:

После введения поправки на 4 дБ и округления в большую сторону принимаем следующие координаты рабочей точки:

. (7.15)

Запишем уравнение 1-ой низкочастотной асимптоты

. (7.16)

Свободный член L_a определим, используя координаты рабочей точки, принадлежащей этой асимптоте.

Подставив в уравнение (7.16) ω =1 с^–1и L_a = 58 дБ, определяем К_ж.

К_ж = 58 дБ (К_ж = 794).

Уравнение 2-ой асимптоты, проводимой с наклоном –2:

Считая рабочую точку, принадлежащей также и второй асимптоте, определяем свободный член L_b и уравнение принимает окончательный вид:

. (7.17)

Уравнение (7.17) позволяет определить значение 2-ой частоты излома, на которой аплитуду принимаем равной 12 дБ.

12 .

Уравнение среднечастотной асимптоты:

Свободный член L_с определяется из условия L₃ = 12 дБ на частоте . . Тогда уравнение среднечастотной асимптоты окончательно примет вид:

. (7.18)

Равенство (7.18) позволяет рассчитать частоту ω₃ третьего излома желаемой ЛАЧХ, если положить L₃= –12дБ:

.

По рассчитанным частотам сопряжения определяем соответствующие им постоянные времени:

По построенной желаемой ЛАЧХ (рис.7.6 , ЛАЧХ 1) записываем

Рис.7.6

её передаточную функцию:

, которую используем при моделировании для оценки динамических показателей качества. Математическое моделирование в программном комплексе МВТУ¹ дало (рис.7.7) следующие результаты: σ = 17% (h_max1 = 1,17), t_p1= 0,27 c.

Сопоставляя полученные результаты с требуемыми значениями, можно увидеть, что время регулирования больше (t_p1= 0,27 c > 0,16 c). Необходимо внести поправки. Оставаясь на первой асимптоте, сместим рабочую точку на частоту ω = 0,4 с^–1. Выполнив расчеты по методике предыдущего примера, получим частоты сопряжения (ω₁ = 0,4 с^–1; ω₂ = 8,95 с^–1; ω₃= 141,9 с^–1), используя которые построим ЛАЧХ 2 и запишем передаточную функцию:

.

Проверка динамических показателей путем математического моделирования дала следующие результаты (рис.7.7): σ = 16,6%

(h_max2 = 1,166), t_p2 = 0,216 c. Следует отметить, что смещение рабо-

Рис.7.7

чей точки с целью снижения времени регулирования правильное, но недостаточное. Опять оставаясь на первой асимптоте, сместим рабочую точку на частоту ω = 0,8 с^–1. По принятой методике и известным уравнениям получим новые частоты сопряжения (ω₁ = = 0,8 с^–1; ω₂ = 12,68 с^–1; ω₃= 200,9 с^–1), используя которые строится

ЛАЧХ 3 (рис. 7.6) и записывается передаточная функция:

(7.19)

Математическое моделирование дает следующие результаты (рис.7.7): σ = 16 % (h_max3 = 1,16), t_p3 = 0, 15 c. Таким образом, ЛАЧХ 3 и соответствующая ей передаточная функция (7.19) удовлетворяет требованиям по показателям качества.

Если переходная функция имеет больший, чем требуется коэффициент перерегулирования, то необходимо увеличивать длину среднечастотной асимптоты сначала в область высоких частот.