Глава 7. Синтез корректирующих устройств

Устойчивая система автоматического регулирования, являясь принципиально работоспособной, не всегда отвечает требуемым показателям качества, например, точности. Повышение точности работы системы требует увеличения коэффициента усиления, что в свою очередь, может привести к неустойчивости и, следовательно, сделает систему неработоспособной.

Кроме точности предъявляются требования и по другим показателям качества. Удовлетворить всем требованиям можно двумя путями:

–изменением параметров элементов, входящих в систему, что не всегда достижимо;

– изменением структуры системы путем использования дополнительных специальных элементов – корректирующих устройств.

Поскольку последний способ получения удовлетворительных показателей качества системы более гибкий, то его и применяют в подавляющем большинстве случаев.

Существует несколько видов корректирующих устройств, из которых наибольшее распространение получили последовательные и параллельные корректирующие устойств.

1. Формирование желаемой логарифмической амплитудной частотной характеристики

Метод логарифмичеких частотных характеристик вследствие его эффективности и наглядности является наиболее распространенным среди аналитических методов синтеза корректирующих устройств. В реализации этого метода можно выделить несколько этапов:

– первый – состоит в формировании желаемой логарифмической амплитудной частотной характеристики. Желаемой называют такую логарифмическую амплитудную частотную характе ристику (ЛАЧХ), которая удовлетворяет требованиям, предъявляемым к проектируемой системе;

– второй – заключается в построении ЛАЧХ по передаточной функции исходной системы;

– на третьем этапе сопоставляются ЛАЧХ желаемой и исходной систем, на основании чего строится ЛАЧХ корректирующего устройства;

– на последнем этапе, как правило, методом математического моделирования, проверяется устойчивость скорректированной системы и её соответствие требуемым показателям качества.

Одним из показателей качества работы системы автоматического управления является точность воспроизведения входного задающего (управляющего) воздействия в установившемся режиме работы. Этот показатель оценивают по величине ошибки (отклонению регулируемой координаты от требуемого значения), которую можно подсчитать, используя теорему о конечном значении функции (§ 5.2 формулы (5.3) и (5.8)) или коэффициенты ошибок (5.14).

Частотный метод синтеза предполагает, что на систему подается гармонический управляющий сигнал, параметры которого известны:

, (7.1)

где g_m – амплитуда и ω_p – частота считаются рабочими. В том случае, когда параметры гармонического входного воздействия не известны, приводятся максимальные значения скорости и ускорения, требуемые от проектируемой системы. Для вращательного движения это будут угловая скорость α׳_max и угловое ускорение α״_max. В случае поступательного движения производится пересчет линейных скоростей и ускорений в угловые через параметры преобразователей (шарико-винтовой; винт-гайка; рейка-шестерня,

различные кривошипно-шатунные механизмы и т.д. и т.п.).

При заданных максимальных скорости – α׳_max и ускорении – α״_max используя (7.1), рассчитаем параметры эквивалентного гар-монического закона входного воздействия полагая:

(7.2)

(7.3)

Поделив (7.3) на (7.2), получим:

– эквивалентную рабочую частоту; (7.4)

Возведя в квадрат обе части (7.2) и поделив его на (7.3), получим:

– эквивалентную амплитуду воздействия. (7.5)

Полученные числовые значения используются для расчета параметров желаемой ЛАЧХ.

Исходя из требуемой ошибки амплитудой ε_m, по формуле (5.7) рассчитаем необходимый минимальный коэффициент передачи разомкнутой системы, который она должна иметь на рабочей

частоте.

. (7.6)

В логарифмических координатах амплитуды и частоты определяем местонахождение рабочей точки А, координаты которой: (7.7)

Для астатических систем 1-го порядка строят запретную область, в которой не должна располагаться желаемая ЛАЧХ. Через рабочую точку проводят две прямые: в область низких частот с наклоном –1, а в сторону высоких частот с наклоном –2 (рис.7.1). Обос-нование построения запретной области дано в Приложении 5.

Рис.7.1

Динамические показатели качества системы управления зависят от наклона и протяженности среднечастотной асимптоты, проходящей через частоту среза. Известно [4,5,6 и др.], что частота среза и время регулирования связаны обратно пропорциональной зависимостью. Предлагаются различные способы определения частоты среза [5 ÷ 11], через которую затем проводится среднечастотная асимптота. Казалось бы, чем выше частота среза, тем меньше время регулирования. Но у этого требования есть и негативная сторона. Поскольку все элементы имеют ограниченную полосу пропускания, то высокочастотные сигналы для них будут помехой, нарушающей их тепловой режим работы. Например, механическая часть электродвигателя – исполнительного элемента системы, не сможет поворачиваться на требуемый угол, отрабатывая высокочастотный входной сигнал. А в то же самое время ток в цепи управления отреагирует на высокочастотный сигнал. В этом случае часть энергии пойдет на ненужный нагрев электродвигателя, что приведет к нарушению теплового баланса.

Асимптота в области средних частот проводится только с наклоном –1. Проведение асимптоты с наклоном –2 приводит к ситуации, когда система становится неустойчивой или близка к

границе устойчивости.

Протяженность среднечастотной асимптоты рекомендуется делать не менее декады, распределяя примерно равные отрезки по обе стороны от частоты среза. На практике эту асимптоту ограни-чивают сверху значениями амплитуды на уровне (12 ÷ 16) дБ и снизу – на уровне –(12 ÷ 16) дБ рис 7.2.

Рис.7.2

Две асимптоты одинакового –1-го наклона низкочастотную и среднечастотную сопрягают асимптотой, имеющей наклон –2 (реже с наклоном –3). Точки пересечения сопрягающей асимптоты определяют частоты сопряжения желаемой ЛАЧХ и, следовательно, постоянные времени (Т₁ = 1/ω₁ и Т₂ = 1/ω₂) передаточной функции желаемой системы (рис.7.3). Из точки пересечения среднечастотной асимптоты с уровнем –(12 ÷ 16) дБ проводится асимптота с наклоном –2 или –3. Частота излома на выбранном отрицательном уровне ЛАЧХ определяет постоянную времени Т₃ = =1/ω₃. Так как высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ мало влияет на показатели качества, то при её построении руководствуются простотой реализации корректирующего устройства. Если выполняется условие , то влиянием звеньев,

Рис.7.3

имеющих частоты сопряжения ω_i, можно пренебречь.

Передаточная функция желаемой системы записывается по параметрам желаемой ЛАЧХ и имеет вид:

(7.8)

Далее при синтезе корректирующих устройств эта передаточная функция уточняется в соответствии с высокочастотной частью ЛАЧХ нескорректированной системы.

Изложим пошаговый способ построения желаемой ЛАЧХ.

После определения координат рабочей точки с учетом поправки на 3 ÷ 6 дБ проводится низкочастотная асимптота с наклоном –1. Эта прямая на частоте равной 1 определяет коэффициент усиления желаемой системы К_Ж. Запишем в логарифмических координатах уравнение прямой низкочастотной асимптоты:

, дБ (7.9)

Так как точка с координатами (ω =1 с^–1; К_Ж, дБ) принадлежит прямой (7.9), то легко определяется L_а. Свободный член (7.9) L_а можно определять по параметрам рабочей точки или любой точки, принадлежащей низкочастотной асимптоте:

.

Подставляя L_а в (7.9), получим уравнение низкочастотной асимптоты:

(7.10)

Примем, что первый излом желаемой ЛАЧХ происходит на рабочей частоте, где коэффициент передачи равен L(ω_p) = L_p. В этом случае первая частота сопряжения желаемой ЛАЧХ совпадает с рабочей частотой, что является необязательным условием (см. рис.7.3). Тогда точка с координатами (ω_р ; L_p) принадлежит также и второй асимптоте с наклоном –2, уравнение которой в общем виде: .

Считая начальными условиями для построения второй асимптоты координаты первого излома ЛАЧХ (ω_р ; L_p ), найдем свободный член L_b: . Окончательно уравнение 2-ой асимптоты будет:

(7.11)

Прямая (7.11), в свою очередь, имеет общую точку со среднечастотной асимптотой. Эта точка принадлежит второй частоте излома – ω₂ . Если принять из рекомендуемого диапазона (12 ÷ 16 дБ) значение амлитуды на этой частоте, например L(ω₂) = 16 дБ, , то можно, используя (7.11), рассчитать числовое значение ω₂ и далее Т₂ =1/ ω₂.

и тогда

Далее запишем уравнение среднечастотной асимптоты, начальными значениями для которой могут служить частота ω₂ и L(ω₂):

Окончательно уравнение среднечастотной асимптоты примет вид:

(7.12)

Частота ω₃, определяющая постоянную времени Т₃, рассчитывается по (7.12), исходя из выбранного уровня (–12 ÷ –16) дБ амплитуды, на котором происходит переход среднечастотной части желаемой ЛАЧХ к высокочастотной (с –1 наклона на –2 наклон).

Уравнение (7.12) среднечастотной асимптоты позволяет при необходимости вычислить значение частоты среза.

Приведем числовые примеры построения желаемой ЛАЧХ.