3. Частотные характеристики структурных звеньев

Для определения частотных характеристик рассматривается передача линейным звеном направленного действия гармонического сигнала x(ωt) c амплитудой А_x, угловой частотой ω, начальной фазой θ_x: (рис.4,а):

.

На выходе звена в установившемся режиме гармонический сигнал y(ωt) имеет ту же частоту, но изменившиеся амплитуду А_y и фазу θ_y:

.

Рис. 5

Изменение гармонического сигнала при передаче его звеном характеризуется отношением амплитуд и разностью фаз ψ=θ_у-θ_х.

На рис.4,б гармонические сигналы x(ωt) и y(ωt) представлены на в виде векторов , , вращающихся с угловой частотой ω. Модуль каждого вектора равен амплитуде соответствующего сигнала, а их положение на комплексной плоскости определяется начальными фазами. Векторы этих сигналов в комплексной форме имеют следующее выражение:

,

.

Комплексной частотной передаточной функцией (комплексным коэффициентом передачи) называют отношение вектора выходного гармонического сигнала к вектору входного сигнала :

. (17)

Таким образом комплексная частотная передаточная функция характеризует относительное изменение амплитуды А и фазы ψ гармонического сигнала при передаче его звеном или системой. На комплексной плоскости частотную передаточную функцию можно представить неподвижным вектором (рис. 5):

.

Модуль вектора представляет собой отношение амплитуд:

,

фаза вектора ψ=θ_y-θ_x – разность фаз выходного и входного гармонических сигналов.

При анализе частотных характеристик более удобной является алгебраическая форма записи комплексной частотной функции с выделением вещественной и мнимой частей:

.

Рис.6.

При обратном преобразовании для определения модуля и фазы вектора комплексной частотной функции используют известные соотношения:

; (17)

. (18)

Комплексную частотную передаточную функцию при изменении угловой частоты можно представить двумя вещественными характеристиками: амплитудно-частотной А(ω) и фазо-частотной ψ(ω). Недостатками этих характеристик является сложность их представления в широком диапазоне изменения угловой частоты. Расчет и построение этих характеристик существенно упрощается при использовании логарифмических масштабов. Такие зависимости называют логарифмическими амплитудно-частотными (ЛАЧХ) и фазо-частотными (ЛФЧХ) характеристиками.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика показывает, как изменяется в логарифмическом масштабе в зависимости от угловой частоты амплитуда гармонического сигнала, передаваемого звеном или системой относительно амплитуды входного гармонического сигнала. Для количественного выражения ординат ЛАЧХ использована логарифмическая единица усиления мощности гармонического сигнала 1бел [Б], применяемая в акустике. Она характеризует усиление мощности сигнала в 10 раз. В теории автоматического управления используют понятие усиления амплитуды гармонического сигнала. Мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, поэтому единице усиления мощности 1 бел соответствует усиление амплитуды сигнала в раза. Практически используют дольную единицу - децибел (1[дБ]=0,1Б), соответствующую усилению мощности сигнала в раза и увеличению амплитуды в раза.

Логарифмы угловой частоты выражаются в декадах; 1 дек соответствует увеличению частоты в 10 раз.

Аналитическое выражение ЛАЧХ G(ω) определяется логарифмированием квадрата модуля комплексной частотной функции и умножением на 10 для перевода в дольные единицы усиления мощности, дБ:

. (19)

График ЛАХЧ строят в логарифмических координатах. Усиление мощности сигнала, в децибелах, откладывают по оси ординат, а логарифмическое увеличение частоты, в декадах, – по оси абсцисс. Расположение характеристики выше оси абсцисс характеризует усиление амплитуды и мощности гармонического сигнала на выходе звена или системы относительно входного. Если характеристика или ее часть расположена ниже оси абсцисс, это соответствует ослаблению амплитуды и мощности сигнала.

Логарифмическая фазочастотная характеристика ψ(ω) – это зависимость относительного изменения фазы гармонического сигнала при передаче его звеном или системой от логарифма угловой частоты. На графике изменение фазы ψ, выраженное в угловых градусах или радианах, откладывают по оси ординат. Логарифмическую частоту, в декадах, откладывают по оси абсцисс. Логарифмические амплитудно- и фазо- частотные характеристики обычно совмещают по координате частоты, или располагают одну под другой.

Свойства логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ):

- форма ЛЧХ и не зависит от параметров звена - коэффициента усиления и постоянной времени; она определяется формулой частотной передаточной функции;

- ЛАЧХ и ЛФЧХ смещаются по оси абсцисс влево при увеличении постоянной времени звена, вправо - при уменьшении постоянной времени;

- ЛАЧХ смещается по оси ординат вверх при увеличении коэффициента усиления, вниз - при уменьшении коэффициента усиления; положение ЛФЧХ в координатных осях не зависит от коэффициента усиления звена.

Для определения комплексной частотной передаточной функции и амплитудно-фазовой характеристик апериодического звена 1-го порядка гармонические сигналы входной х(ωt) и выходной у(ωt) в уравнении (1) представлены в комплексной форме:

.

Комплексная частотная передаточная функция в соответствии с выражением (17) имеет следующий вид:

. (20)

Сопоставление полученного выражения с формулой (7) операторной передаточной функции апериодического звена 1-го порядка показывает их полную идентичность. Поэтому комплексную частотную функцию звена или системы автоматического управления можно выразить из операторной передаточной функции, заменив в ней множитель «р» на «jω».

Для определения амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик, надо представить комплексную частотную передаточную функцию (20) в алгебраической форме в виде суммы вещественной и мнимой частей:

Используя выражение (17) и (18) можно получить формулы, определяющие зависимости изменения модуля и фазы ψ(ω) вектора частотной функции от угловой частоты ω:

, (21)

. (22)

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика апериодического звена 1-го порядка определяются в соответствии с выражением (19) логарифмированием модуля частотной передаточной функции (20) :

. (23)

График ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка показан на рис.6,а. В инженерных расчетах обычно используют упрощенные ЛАЧХ, составленные из линейных отрезков, что позволяет избежать громоздких вычислений. Горизонтальный отрезок располагают на уровне . Аналитическое выражение для наклонного отрезка может быть получено из второго слагаемого формулы (23), если пренебречь единицей под знаком радикала:

.

Наклонный отрезок с крутизной наклона «минус» 20дБ/дек сопрягается с горизонтальным отрезком характеристики в точке N при логарифмической частоте .

а) б)

Рис.7

Наибольшая погрешность линеаризации ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка имеет место при логарифмической частоте сопряжения отрезков и составляет дБ. График линеаризованной ЛАЧХ выделен на рис.7,а штриховыми линиями.

Правило: для построения линеаризованной ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка надо вычислить логарифмические координаты точки N сопряжения горизонтального и наклонного отрезков характеристики [ ; ]. Из этой точки надо провести горизонтальный отрезок влево, наклонный – вправо, с наклоном «минус» 20дБ/дек.

Коэффициент усиления K исследуемых апериодических звеньев 1-го порядка равен 1, поэтому горизонтальный отрезок линеаризованной характеристики расположен на оси абсцисс. График логарифмической фазо-частотной характеристики апериодического звена 1-го порядка описывается функцией арктангенса (22), и изменяется в пределах от 0 до -90 град. При частоте фазовый угол характеристик составляет: ψ= - 45град. График характеристики имеет центральную симметрию относительно точки M с координатами [ ;- 45⁰].

Комплексная частотная передаточная функция колебательного звена 2-го порядка получена из уравнения в комплексной форме с гармоническими переменными и , соответствующего каноническому уравнению звена (2):

.

В соответствии с выражением (5) она имеет следующий вид:

. (24)

Для определения амплитудночастотной и фазочастотной характеристик, надо представить комплексную частотную передаточную функцию (24) в виде суммы вещественной и мнимой частей:

Используя выражение (17) и (18) получены формулы, определяющие зависимости изменения модуля (АЧХ) и фазы ψ(ω) (ФЧХ) вектора частотной функции от угловой частоты ω:

, (25)

. (26)

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика колебательного звена 2-го порядка определяются в соответствии с выражением (19) логарифмированием модуля частотной передаточной функции (25):

. (28)

Графики ЛАЧХ колебательного звена 2-го порядка для коэффициентов затухания n=1; 0,5; 0,25 показаны на рис.7,б.

Упрощенная ЛАЧХ, составленная из линейных отрезков, выделена для n=0,5 штриховыми линиями. Горизонтальный отрезок расположен по оси абсцисс на уровне , наклонный отрезок проходит из точки N с абсциссой с наклоном «минус» 40 дБ/дек. Наибольшая погрешность линеаризации ЛАЧХ при логарифмической частоте сопряжения отрезков составляет «минус» 6 дБ. Ордината амплитуды ЛАЧХ при n<0,5 для логарифмической частоты определяется в соответствии с выражением (28) по следующей формуле:

. (28)

Коэффициент усиления K исследуемого колебательного звена 2-го порядка равен 1, поэтому горизонтальный отрезок линеаризованной характеристики расположен на оси абсцисс. Характеристики исследуемого звена выделены на рис. 7,а штриховыми линиями.

ЛФЧХ колебательного звена 2-го порядка описывается функцией арктангенса (27) и изменяется в пределах от 0 до -180 град. При частоте фазовый угол характеристик составляет: ψ= -90град. Форма ЛФЧХ зависит от коэффициента затухания n. Чем меньше коэффициент затухания, тем круче расположена характеристика в области прилегающей к логарифмической частоте сопряжения. Графики ЛФЧХ колебательного звена 2-го порядка для коэффициентов затухания n=1; 0,5; 0,25 показаны на рис.6,б.