Криволинейный интеграл по длине дуги
Задача.
Найти массу криволинейного стержня, плотность которого
= f(х, у) непрерывная функция от х и у.
У
l2
A2
P2
ln
A1
В=Аn
Pn
P1
l1
А=А0
Х
в
а
0
Пусть криволинейный стержень расположен по дуге АВ.
Задачу будем решать аналогично задаче об отыскании массы прямоугольного стержня.
Разобьем дугу АВ произвольным образом на n частей, получим частичные дуги, длины которых обозначим l1, l2, ... , ln. На каждой частичной дуге произвольно берем точки Р1(1, h1), ... , Р2(2, h2), Рn(n, hn). Вычислим в этих точках значение плотности 1 = f(1, h1), 2 = f(2, h2), ... , n = f(n, hn). Можно записать f(P1), f(P2), ... , f(Pn). Будем считать, что на каждой дуге li плотность постоянна и сохраняет то значение, которое она принимает в точке Рi.
Подсчитаем массу каждой элементарной дуги и найдем их сумму:
.
Найдем массу криволинейного стержня:
.
Определение.
Пусть
дана дуга
и
непрерывная на ней функция. Сумма
называется интегральной суммой, предел
интегральной суммы при условии n
и наибольшее li
f(х,
у) по дуге
и
обозначается
.
Итак,
.
Возвращаясь к
задаче, можем написать
или
(l кривая интегрирования).
Сведение криволинейного интеграла по длине дуги к определенному интегралу
Даны параметрические
уравнения кривой интегрирования (l):
,
где функция (t),
(t)
и их производные (t),
(t)-непрерывны
в интервале [,
],
где
- значение параметра t
в этой точке А0,
- значение параметра t
в точке Аn.
Вычисление
криволинейного интеграла сводится к
вычислению определенного интеграла.
Переход от криволинейного интеграла к
определенному интегралу осуществляется
следующим образом: в криволинейном
интеграле
делаем подстановку
х
= (t),
у = (t),
.
Получаем
.
Пределы определенного
интеграла показывают, как меняется t
на дуге
.
Из последнего равенства следует, что криволинейный интеграл существует, если существует определенный интеграл, стоящий справа.
Из теоремы существования определенного интеграла следует, что этот интеграл существует, если f(х, у) непрерывна, а (t) и (t) непрерывны вместе со своими производными на дуге . Следовательно, линия АВ должна быть гладкой, т.е. иметь непрерывно меняющуюся касательную. Линия АВ может быть и кусочно-гладкой , т.е. состоять из участков гладкой линии. В этом случае линию АВ следует разбить на участки и интеграл рассматривать как сумму интегралов.
Т.к. криволинейный
интеграл
сводится к определенному интегралу, то
все свойства криволинейных интегралов
аналогичны свойствам определенных
интегралов.
Если кривая
интегрирования (l)
задана уравнением у
= (x),то
в этом случае
.
Тогда
.
Пример.
Определить
длину дуги кривой
,
ограниченной осью ОХ.
у
А
В
х
-1
Приложения определенного интеграла
Вычисление площади плоских фигур
Пусть задана
некоторая плоская фигура, где кривая
(АЕС)
определяется уравнением у
= f1(x),
а кривая (АВС)
определяется уравнением у
= f2(x).
Тогда площадь S
фигуры D
равна
.
В
У
C
A
D
в
а
Х
Пример.
Найти
площадь, ограниченную одной аркой
циклоиды
и осью ОХ
.
У
S
Х
0
2
Из уравнения кривой dx = r(1-sin t)dt y = r(1-cos t). Следовательно,
Объем тела вращения
Дуга
кривой, уравнение которой
,
вращается вокруг оси ОХ.
Найти объем полученного тела вращения.
Объем тела вращения найдем, пользуясь
формулой
.
Если кривая вращается вокруг оси ОУ,
У
d
c
Х
0
то объем тела
вращения будет вычисляться по формуле:
.
Пример. Дуга параболы у2 = 12х от точки А(0, 0) до точки В(3, 6) вращается вокруг оси ОХ. Найти объем тела вращения.
У
В
А
Х
0
,
Пример. Площадь, ограниченная линиями х2 = 8у, х = 3, у = 0, вращается вокруг оси ОУ. Найти объем тела вращения V.
У
Х
0
3
V
= V2
- V1,
где V2
объем цилиндра радиуса 3 и высотой
,
.
Длина дуги кривой
Используя понятие
криволинейного интеграла, получим
формулу для вычисления длины дуги
плоской кривой, а именно
.
Из дифференцированного исчисления известно:
если кривая (l) задана уравнением у = f(х), то
,
если кривая (l) задана параметрическими уравнениями
х = (t),
у =
(t),
то
,
если кривая (l) задана полярным уравнением = F(), то
,
Пример.
Найти
длину кривой у
= ln
x
,от точки с абсциссой х
=1 до точки
с абсциссой
х = 2. Из
уравнения кривой найдем
,
тогда
.
