Пример. Найти интеграл .

Выписываем знаменатель и раскладываем его на множители

х³ - 3х² + 2х = х(х² - 3х + 2) = х(х - 2)(х - 1).

Выписываем подынтегральную функцию и записываем ее как сумму простейших дробей

. (1)

1-й способ определения неизвестных коэффициентов А, В, С.

Из полученного тождества имеем тождество

2х + 3  А(х - 2)(х - 1) + Вх(х - 1) + Сх(х - 2), (2)

справедливое при любых значениях х .

Выгодно подставлять такие значения х, при которых знаменатель обращается в нуль. В нашем случае это х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2.

Итак,

при х = 0 имеем: 3 = А(-2)(-1); 3 = 2А, А = 3/2;

при х = 1 имеем: 5 = С  1(1 - 2); 5 = -С, С = -5;

при х = 2 имеем: 7 = В  2(2 - 1), В = 7/2.

Вычисляем данный интеграл

.

Пример. Найти интеграл .

Разложим знаменатель на множители:

х²(х³ - 1) = х²(х³ - 1³) = х² (х - 1)(х² + х + 1).

Теперь представим дробь в виде простейших дробей

.

Отсюда получаем

х² + 5  А(х - 1)(х² + х + 1) + Вх(х - 1)(х² + х + 1) +

+ Сх²(х² + х + 1) + Dх  х²(х - 1) + Ех² ( х - 1).

2-й способ определения неизвестных коэффициентов

Если раскрыть скобки, то высшая степень х в полученном тождестве будет равна четырем (х⁴). Тождество (2) справедливо при любом значении х . Это возможно тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства (2) равны друг другу.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях. Запишем это в виде таблицы.

х4	0 = В + С + D
х3	0 = А + С - D + Е
х2	1 = С - Е
х	0 = -В
х0	5 = -А

Решая систему , получим:

А = -5, В = 0, С = 2, D = -2, Е = 1.

Тогда находим интеграл

Интегралы от тригонометрических функций

Интегралы .

R - знак рациональной функции, следовательно, над Sinx и Cosx производятся только рациональные действия. Интегралы такого вида вычисляются при помощи универсальной подстановки .

Отсюда , тогда .

Используя тригонометрические формулы, получим

, .

Итак, .

Данный интеграл в новых переменных будет .

Под знаком интеграла стоит рациональная функция от t. Интеграл можно записать , т.е. интеграл от тригонометрических функций, сведен к интегралу от рациональных функций.

Пример. .

Пользуясь полученными формулами, найдем .

Частные случаи

Интегралы .

Их можно брать при помощи универсальной подстановки, но лучше эти интегралы брать следующим способом:

1. Хотя бы один из показателей степени в данном интеграле - целое, нечетное

положительное число: ; .

Интегралы берутся при помощи подстановки сosx = t (или sinx = t).