Свойство 3. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой непрерывно- дифференцируемой функции от нее, т.Е. Если ,

то ,

где U = (х) - любая дифференцируемая функция от х .

Следствие. Если , то справедлива формула .

По свойству 3 . Отсюда , следовательно, .

Примеры.

1. ;

2. .

Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Используются свойства интегралов, формулы тригонометрии и алгебры.

Примеры

Замена переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки)

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

1) х = (t),

где (t) - непрерывно дифференцируемая функция.

Отсюда dx = (t)dt, и тогда получим .

Пример. Вычислить .

Сделаем замену . Получим

.

2) Если интеграл имеет вид: , то следует сделать замену . Получим .

Пусть . Возвращаясь к старой переменной х, будем иметь

.

Пример. Вычислить .

.

С помощью метода подстановки можно вывести некоторые дополнительные формулы интегрирования:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

.

6. .

.

7. .

8. .

.

9. .

Интегрирование по частям

Из дифференцированного исчисления известно:

Откуда, . Отсюда следует:

или - формула интегрирования по частям.

Замечание

Нижеприведенные типы интегралов вычисляются по частям:

, u = xn	, u = arcSin x
, u = xn	, u = xn
, u = arctg x	, u = ln x

Примеры:

.

2.

Интегрирование дробно-рациональных функций

Будем рассматривать интегралы вида , где

Р_m (х), Q_n(х) - многочлены степени m и n.

P_m(x) = a₀x^m + a₁x^m-1 + ... + a_m;

Q_n(x) = в₀хⁿ + в₁х^n-1 + ... + в_n.

Если m  n, то дробь называется правильной. Если m  n, то дробь называется неправильной. В случае, если дробь неправильная, из нее, путем деления многочлена на многочлен можно выделить правильную дробь.

Пусть дана правильная дробь .

Будем использовать некоторые утверждения алгебры:

1. Многочлен Q_n(x) можно разложить на множители, т.е. представить в виде:

Q_n(x) = (x - a) ... (x - в)^k ... (x² + px + q) ... (x² + ex + h)^s,

где а - однократный действительный корень многочлена;

в - k- кратный действительный корень многочлена;

x² + px + q - двучлен, имеющий однократные комплексные корни многочлена Q_n(x);

(x² + ex + h)^s - многочлен, имеющий s- кратные корни многочлена Q_n(x).

2. Дробь можно записать как сумму простейших дробей:

При написании правой части следует пользоваться следующим правилом:

сомножителю знаменателя вида (х - а) соответствует выражение вида ;

сомножителю знаменателя вида (х - в)^k соответствует выражение вида ;

сомножителю знаменателя вида (х² + рх + q) соответствует выражение вида ;

сомножителю знаменателя вида (х² + eх + h)^S соответствует выражение вида .

Постоянные А, В₁, ... В_k, Н₁, N, H, F₁, ... подлежат определению. Ниже на примерах будет показано два способа определения коэффициентов.

Берем интеграл

Таким образом, интегрирование правильных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.