2.3.3 Дифференцирование единичного вектора

    Вычислим производную от вектора по скалярному аргументу (рис. 2.9) . Из векторного способа задания движения следует, что , где S = S(t) , тогда

(2.10)

    По величине эта производная равна 1:          Вектор направлен по касательной к траектории как производная от вектора по скалярному аргументу и является единичным вектором.

    Вычислим производную от вектора по скалярному аргументу t , где t – время.     Скалярное произведение двух векторов:          Дифференцируя по времени обе части этого тождества, получим:          

Каждый из сомножителей этого выражения не равен нулю, поэтому векторы и перпендикулярны друг другу (рис. 2.10) . Направим по вектору единичный вектор , тогда

(2.11)

    По определению модуля производной:

(2.12)

    Вычислим длину хорды (рис. 2.10) для малых величин (для , )          Подставляя это выражение, в 2.12, получим

(2.13)

    При движении точки угол меняется, следовательно зависит от S , т.е. .     Используя (2.11 и 2.13) дифференцируя , получим, что

(2.14)

2.3.4 Скорость и ускорение при естественном способе задания движения.

    Используя определение скорости и (2.10), имеем:

(2.15)

    Величина называется алгебраической скоростью точки.     Естественное задание движения точки полностью определяет скорость точки по величине и направлению, Алгебраическую скорость находят дифференцированием по времени закона изменения расстояний. Единичный вектор определяют по заданной траектории.

    В соответствии с определением ускорения, используя (2.14) имеем      ,

(2.16)

    Получено разложение ускорения точки по осям естественного трехгранника. Часть ускорения

(2.17)

называется касательной составляющей ускорения.

    Другая часть ускорения

(2.18)

называется нормальной составляющей ускорения. Таким образом

(2.19)

    

Учитывая ортогональность и , имеем (рис. 2.11) :

(2.20)

    Нормальная составляющая ускорения всегда направлена внутрь вогнутости траектории. Касательная составляющая при направлена в положительную сторону касательной, а при - в отрицательную.

Касательное ускорение характеризует изменение величины скорости, а нормальное - изменение направления скорости.

2.4 Движение точки в полярных координатах

    Пусть движение точки происходит в заданной плоскости. Помимо декартовых координат , движение может быть задано, например, при помощи полярных координат (рис. 2.12) .     

Пусть заданы функции , . Найдем скорость и ускорение точки A .     Пусть - единичный вектор, направленный вдоль радиуса-вектора точки A относительно O в сторону возрастания величины , а - вектор, получающийся из поворотом последнего на угол против часовой стрелки. Единичные вектора и задают направления двух взаимно перпендикулярных осей: радиальной и трансверсальной соответственно. В системе координат Oxy векторы и можно записать в следующем виде:      ,      .     Так как , , то в системе координат Oxy имеем          Модуль скорости равен

(2.21)

    Проекции скорости и на радиальную и трансверсальную оси называются соответственно радиальной и трансверсальной скоростями.

    Для ускорения аналогично получаем

    

    Проекции ускорения на радиальную и трансверсальную оси называются радиальным и трансверсальным ускорениями соответственно. Тогда, ускорение точки при движении в полярных координатах

(2.22)

     .

    Угол, образованный ускорением с положительным радиальным направлением, определяется формулой      .

Пример 3. Движение точки задано в полярных координатах уравнениями      , .     Определить уравнение траектории, скорость и ускорение точки в полярных координатах для моментов времени , .     Решение. Исключая из уравнений движения параметр t, получим следующее уравнение траектории в полярных координатах . Это уравнение спирали Архимеда (рис. 2.13) .     Определим положение точки при : , . Точка занимает положение, показанное на (рис. 2.13) .     Проекции скорости и ускорений на полярные оси вычислим по формулам:      ;      .     Для момента времени , точка занимает положение :      ;      .     Для момента времени , точка занимает положение :      ;      .

3.1 Понятие о степенях свободы

3.2 Основная теорема кинематики

3.3 Поступательное движение твердого тела

3.4 Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

3.4.1 Угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение

3.4.2 Частные случаи вращения твердого тела

3.4.3 Скорости и ускорения точек твердого тела

3.5 Преобразование простейших движений

3.6 Векторы угловой скорости и углового ускорения

3.1. Понятие о степенях свободы

Абсолютно твердое тело – это такой физический объект, у которого взаимное расположение точек не меняется.

Число независимых уравнений движения, определяющих положение тела, называется числом его степеней свободы.

    Положение тела в пространстве определяется заданием трех его точек, не лежащих на одной прямой , , , т.е. положение тела в пространстве характеризуется девятью уравнениями движения .Однако эти уравнения не могут быть все независимы, поскольку взаимное расположение точек сохраняется:      - расстояние AB      - расстояние AС      - расстояние BC

    На девять уравнений наложено три условия связи, следовательно независимых уравнений остается только шесть. Поэтому, свободное твердое тело в общем случае имеет шесть степеней свободы.

    В плоскости положение твердого тела определяется заданием двух точек , , . На четыре уравнения наложено одно уравнение связи - расстояние AB, поэтому твердое тело в плоскости имеет три степени свободы.

    Движение твердого тела во многом зависит от числа его степеней свободы.