2.2 Координатный способ задания движения точки
Пусть
Охуz
– неподвижная декартовая система
координат,
,
,
-
орты ее осей. Тогда вектор-функция
может
быть задана тремя скалярными функциями
,
,
–
координатами точки M
:
1.
Чтобы знать закон
движения точки, надо знать
значения координат точки для каждого
момента, т. е. знать зависимости
|
(2.3) |
,
,
Тогда уравнения (2.3) представляют собой уравнения движения точки в декартовых прямоугольных координатах.
2. Если движение точки совершается все время в одной и той же плоскости, то приняв эту плоскость за плоскость Oxy , получим в этом случае два уравнения движения
, |
(2.4) |
Уравнения
(2.3) или (2.4) представляют собою одновременно
уравнения траектории
точки в параллельном виде. Исключив из
уравнений время t
, можно получить уравнение траектории
в явном виде (координатной форме).
Для
скорости имеем выражение
,
где
,
,
-
проекции скорости
на
оси Ox
, Oy
, Oz
. Модуль скорости и ее
направления определяются равенствами
|
(2.5) |
Аналогично
для ускорения
получаем:
,
где
,
,
-
проекции
на
оси Ox,
Oy,
Oz.
И тогда
|
(2.6) |
Пример
2.
Движение точки по плоскости Oxy
задано уравнениями
Решение.
Уравнение траектории в координатной
форме находим исключением времени из
уравнений движения. Для этого поделим
первое уравнение на 2, второе на 4,
возводим в квадрат и складываем.
Получаем уравнение эллипса (рис. 2.3)
При
t
= 0
точка имеет координаты х
= 0, у = 4
, т.е. занимает положение
Время величина всегда положительная, следовательно, при увеличении t координата x возрастает, а y убывает; поэтому точка движется от точки по часовой стрелке по траектории (рис. 2.3) .
По
проекциям устанавливаем направление
скорости (по касательной к траектории)
(рис. 2.4
а)
и направление ускорения (рис. 2.4
б)
по радиус-вектору к точке O
). Изображаем эти векторы в точке
.
Определим
скорость и ускорение при
.
Точка имеет координаты
|
Определить
уравнение траектории в координатной
форме, значения скорости и ускорения
точки в момент времени
;
.
, т.к.
.
.
Определим направления движения точки.
Имея в виду, что при x
<< 1
,
,
,
получаем
,
.
При
точка
имеет координаты x
= 2, y = 0
, т.е. занимает положение
.
Определим проекции скорости и ускорения
на оси координат. Имеем:
Для
момента времени
получаем
,
и
занимает положение
(рис. 2.3)
. Определим проекции скоростей (рис. 2.4
а)
и ускорений (рис. 2.4
б)
