1.5 Векторы

    Многие физические величины характеризуются одним числом. Например, температура выражается числом градусов в определенной шкале. Такие величины называются скалярными.

    Для характеристики других физических величин необходимо знать несколько чисел. Например, скорость определяется не только числовым значением, но и направлением, а сила характеризуется не только числовым значением и направлением, но и точкой приложения. Такие величины называются векторами.

    Вектор изображается направленным отрезком, длина которого в некотором масштабе равна представляемой вектором величине, а стрелка показывает ее направление (рис. 1.3) . Вектор обозначается буквой со стрелкой над ней - .

    Математические определения вектора и векторных операций не связаны с понятием точки приложения вектора. Для векторных физических величин точка приложения вектора чрезвычайно важна.

1.6 Радиус – вектор

    Положение точек пространства удобно характеризовать их радиус – векторами.

Если каждому значению скалярного аргумента поставить в соответствие вектор , то называется векторной функцией (радиус – вектором) скалярного аргумента. .

    Если начало вектора (радиус – вектора) поместить в постоянную точку O, то конец радиус вектора опишет пространственную кривую, которую называют годографом векторной функции (рис. 1.4) означает время, то описывает траекторию движения материальной точки. С помощью радиус – вектора положение точек описывается в бескоординатной форме.

    Если радиус – вектор разложить по базисным векторам , , прямоугольной декартовой системы координат, то (рис. 1.5 a)      причем компоненты , , являются функциями от .

    Не только радиус – вектор, но и любой вектор может быть представлен в виде суммы векторов, направленных вдоль осей декартовых координат (рис. 1.5 б)     

    Числа , , – проекции вектора на оси x, y, z. Для того, чтобы уметь вычислять проекции вектора и выражать все векторные операции в координатной форме, необходимо знать соотношение между векторами , , . Принимая во внимание, что эти векторы взаимно перпендикулярны и единичны, получаем

         

1.7 Траектория точки

Геометрическое место последовательных положений движущейся точки называется ее траекторией.

     Если при , траектория – прямая линия, то движение прямолинейное, в противном случае – криволинейное. В частности, движение точки на интервале времени , называют круговым, если на этом интервале траектория точки лежит на окружности.

1.8 Скорость точки

    Положение движущейся точки M относительно рассматриваемой системы отсчета определяется в момент времени радиус – вектором , который соединяет движущуюся точку M с неподвижной точкой O (рис. 1.6) . В другой момент времени положение точки ( ) и ее радиус–вектор будет . За время радиус-вектор изменится на .

    Средней скоростью точки за время называют соотношение , т.е.

(1.1)

    Средняя скорость параллельна вектору и не имеет точки приложения.

    Скорость точки в момент времени определяется как предел средней скорости при , стремящемуся к нулю, т.е.

(1.2)

    Производная по времени от функции часто обозначается точкой над этой функцией, а вторая производная двумя точками.

    Скорость точки приложена в точке M, направлена в сторону ее движения по предельному направлению вектора , стремящемуся к нулю, т.е. совпадает с касательной к траектории в точке M. Размерность в СИ [V] = длина/время = м/с, часто скорость выражают в км/ч – км/ч = 0,28 м/с.