4.3.2 Частные случаи

    Рассмотрим частные случаи определения мгновенного центра скоростей.

    Если плоское движение осуществляется путем качения без скольжения однородного цилиндрического тела по поверхности другого, причем второе тело неподвижно, то точка касания Р имеет в данный момент времени скорость, равную нулю, следовательно, является мгновенным центром скоростей (рис. 4.12) , пример – качение колеса по рельсу.

   

 Если скорости точек A и B тела параллельны друг другу, причем линия AB не перпендикулярна к и (рис. 4.12 б) , то МЦС находится в бесконечности и скорости точек параллельны . При этом, из общей теоремы кинематики имеем, что , т.е. . Следовательно, скорости всех точек тела в данный момент равны между собой по модулю и по направлению, т.е. тело имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (мгновенно поступательное движение). Угловая скорость тела при этом равна нулю.

    Если скорости точек A и B тела параллельны друг другу и при этом , то МЦС определяется построениями, показанными на (рис. 4.12 в) ; тело имеет мгновенно-вращательное движение вокруг P.

Пример 2. В кривошипно-шатунном механизме (рис. 4.13) кривошип OA длиной r вращается с угловой скоростью . Длина шатуна AB = l м. При заданном угле (при фиксированном ), определим угловую скорость шатуна и скорость ползуна . Рассмотреть положение механизма при и .     Решение. Скорость точки A кривошипа и направлена перпендикулярно OA в сторону вращения кривошипа. Скорость ползуна направлена вдоль дорожек. Восстанавливая перпендикуляры к направлениям скоростей в точках A и B, определяем мгновенный центр скоростей (точка P) для шатуна AB (линия AP является продолжением OA). Тогда угловая скорость шатуна AB равна      .     Скорость в точке B определяется как      .     Длины AP и BP вычисляются по данным задачи. По основной теореме кинематики имеем      .     Измеряя углы и , проверяем правильность полученных результатов.     При угле (рис. 4.14 а) перпендикуляр к скорости в точке A и перпендикуляр к направлению скорости в точке B пересекаются в точке B. Следовательно, точка B является в этом положении мгновенным центром скоростей и . Для этого положения шатун совершает мгновенное вращение вокруг точки B с ускорением      .     Распределение скоростей шатуна показано на чертеже.     При (рис. 4.14 б) скорости и направлены параллельно и перпендикуляры к ним пересекаются в бесконечности. Следовательно, все точки шатуна AB имеют одинаковую скорость, равную , = 0 . В этом положении шатун совершает мгновенно поступательное движение.

4.4 Ускорение при плоскопараллельном движении твердого тела

    Теорема. Ускорение какой-либо точки плоской фигуры при плоскопараллельном движении равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения этой точки от вращательного движения плоской фигуры вокруг полюса.

(4.3)

    Положение точки М по отношению к осям Oxy (см. (рис. 4.5) ) определяется радиусом-вектором . Тогда      .     В полученном равенстве величина равна ускорению полюса A, а величина определяет ускорение, получаемое точкой М при ее вращении вместе с телом вокруг полюса A.

    Ускорение от вращательного движения тела вокруг полюса состоит из нормальной и касательной составляющих (рис. 4.15 а) :      .     Здесь и угловая скорость и угловое ускорение тела. На рисунке сплошная дуговая стрелка показывает направление (направление вращения), а пунктирная – направление (знак) . Тогда, ускорение составляет с отрезком AМ угол , тангенс которого определяется по формуле

(4.4)

    Из этой формулы следует, что угол для всех точек плоской фигуры одинаков и всегда откладывается в направлении дуговой стрелки углового ускорения.

    Модуль и направление ускорения точки М - находятся построением соответствующего параллелограмма (рис. 4.15 б) . Можно построить в выбранном масштабе многоугольник ускорения для точки B (рис. 4.15 в) :

.

(4.5)

    Формулу, определяющую зависимость ускорений двух точек плоской фигуры, можно получить непосредственным дифференцированием векторного равенства для скоростей, справедливого в любой момент времени. Имеем (теорема о скоростях плоской фигуры):      .     Продифференцируем по времени обе части этого равенства. Получаем:      ,     Так как и , имеем      , где - касательное ускорение точки М во вращении вокруг полюса A; - нормальное ускорение точки М во вращении вокруг полюса A.

Пример 3. Колесо радиуса R катится со скольжением по неподвижной прямой. Ускорение центра колеса , угловая скорость и ускорение , . Дуговые стрелки направлены в одну сторону по часовой стрелке, т.е. , . Определить в момент времени , ускорения точек М, N и Р (рис. 4.16) .      Решение. Ускорение точки M, приняв за полюс точку O, определим по формуле      и аналогичным формулам для точек N и P. Для касательного и нормального ускорения точки M от вращения колеса вокруг точки O имеем:      .     Ускорение направлено от точки M к точке O, принятой за полюс. Ускорение перпендикулярно отрезку OM и направлено в сторону, указываемую дуговой стрелкой . Аналогично направляем ускорение для точек N и P.     Для модуля и ускорения в точке M имеем:      .     Тогда для точки N имеем      .     Для точки P соответственно      .