4.2 Скорости точек твердого тела при плоскопараллельном движении

    Положение любой точки M, лежащей в сечении S тела, определяется по отношению к осям Oxy радиусом-вектором , который связан с радиусом-вектором полюса (рис. 4.5)      , где - радиус-вектор полюса A , - радиус-вектор, определяющий положение точки M относительно осей , перемещающихся вместе с полюсом поступательно (сечение S по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса A ). Тогда, согласно определения скорости точки:

.

(4.2)

    В полученном равенстве - скорость полюса, - скорость точки M, которую она получает при вращении тела вокруг полюса A . Скорость точки M во вращательном движении вокруг полюса будет равна:      или , где - угловая скорость вращения тела.

    Сформулируем теорему о скоростях при плоскопараллельном движении.

Теорема. Скорость любой точки M тела при его плоскопараллельном движении геометрически складывается из скорости полюса и скорости точки M в ее вращении вместе с телом вокруг этого полюса.

    Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллелограмма (рис. 4.6) .

Пример 1. Колесо радиусом R катится без скольжения по линейному рельсу. Скорость центра C колеса . Определить скорости точек обода колеса P, M, K, расположенных, как показано на (рис. 4.7) .      Решение     1. Величину угловой скорости найдем из условия того, что точка P колеса не скользит по рельсу и, следовательно .     С другой стороны ( ), где . Так как скорости точек C и P направлены вдоль одной прямой, то при , , откуда     2. Скорость точки K определяется, как ( ), где , тогда      .     3. Скорость точки М определяется, как ( ), где . Модуль скорости      .     Направление скорости находим построением параллелограмма (рис. 4.7) .     Скорость точки N находим аналогично:      .

4.3 Мгновенный центр скоростей (мцс)

4.3.1 Теорема о скоростях.

Теорема. В каждый момент времени при плоском движении фигуры в ее плоскости, если , имеется единственная точка для фигуры, скорость которой равна нулю.

    Эту точку называют мгновенным центром скоростей. Обозначим ее P .

    Для доказательства этой теоремы достаточно указать способ нахождения мгновенного центра скорости, если известны скорость любой точки, например точки O плоской фигуры и угловая скорость этой фигуры .

    Вращение фигуры происходит, допустим, по часовой стрелке (рис. 4.8) . Скорость точки P плоской фигуры равна нулю, если , но противоположны по направлению.

    Тогда, если , то ; ( ), но , следовательно , откуда .

    Таким образом, мгновенный центр скоростей находится на перпендикуляре к скорости , проведенном из точки O, на расстоянии .

    Мгновенный центр скорости является единственной точкой плоской фигуры для данного момента времени. В другой момент времени мгновенным центром скорости является уже другая точка плоской фигуры.

    Если мгновенный центр известен, то, приняв его за полюс и учитывая, что скорость тела в этой точке равна нулю, то для любой точки A фигуры (рис. 4.9) имеем,      , где AB – расстояние от точки A до мгновенного центра скорости, т.е. до точки P .

    Для точки B аналогично:      .     Из полученных выражений для и имеем      или .     Следовательно, если мгновенный центр скоростей известен, то скорости точек плоской фигуры при ее движении в своей плоскости вычисляют так же, как и в случае вращения фигуры в рассматриваемый момент времени вокруг своего мгновенного центра скоростей с угловой скоростью.

Следствие 1. Проекции векторов скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны.

    По сути, это следствие есть проверка общей теоремы кинематики для плоскопараллельного движения.

    На (рис. 4.10) построены векторы и , которые составляют углы и соответственно с прямой AB. Точка мгновенного центра находится в точке P. Опустим перпендикуляр из точки P на прямую AB и обозначим его через h. Тогда      .     Запишем выражение определяющее скорости в точках A и B через :      .     Вычислим отрезки и      ,      .     Последние равенства доказывают следствие.

Следствие 2. Концы скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими отрезками.

  

  Исходя из теоремы о скоростях при плоскопараллельном движении имеем (рис. 4.11)      ,      .     Так как и как противоположные стороны параллелограммов, то      .     Это соотношение показывает, что - отрезок прямой. Из подобия и имеем      или и , т.е. расстояния между концами скоростей пропорциональны расстояниям между соответствующими точками.