2.4. Барометрична формула

Якщо молекули газа знаходяться під дією сили тяжіння (або будь-якої центральної сили), то незважаючи на їх хаотичний рух вони не розлітаються у просторі, а утворюють газову оболонку (наприклад атмосферу Землі). У цьому випадку тиск газу змінюється залежно від висоти h над Землею.

За теоремою Паскаля при збільшенні висоти на величину dh тиск зменшиться на

. (2.6)

Оскільки густина газу , а концентрацію виразимо за рівнянням Больцмана, то можна скласти диференціальне рівняння

. (2.7)

Після відокремлення змінних величин і проведення інтегрування, при припущенні, що сила земного тяготіння не змінюється, отримаємо залежність тиску газу від висоти над Землею:

, (2.8)

яка і називається барометричним рівнянням Больцмана; p – тиск газу на поверхні Землі (над рівнем моря; h = 0 ).

Якщо тиск виразити через концентрацію молекул газа і взяти до уваги, що – це потенціальна енергія W молекул на висоті h, то з барометричної формули (2.8) одержимо залежність, що показує як змінюється концентрація молекул газа, коли вони знаходяться в будь-якому потенціальному полі:

, (2.9)

де n – концентрація молекул газу на поверхні Землі.

Оскільки рівняння (2.8) і (2.9) справедливі для будь-якого силового поля і не тільки для молекул газа, а й інших частинок, що рухаються хаотично, то його називають законом Больцмана або законом розподілу частинок, що знаходяться під дією силового поля.

2.5. Максвеллівський розподіл швидкостей молекул газу

Одним з положень молекулярно-кінетичної теорії є припущення, що молекули, з яких складається газ, рухаються хаотично і місцезнаходження будь-якої молекули має випадковий характер. Окрім цього молекули нічим не відрізняються одна від одної і їх дуже багато (наприклад в 1см повітря за нормальних умов, знаходиться приблизно 10 молекул). Усі ці положення стверджуються в досліді з броунівського руху. У зв’язку з цим важливими параметрами, що характеризують газ, будуть середні величини, тобто величини, що характеризують не одну окрему молекулу, а всі молекули одночасно в заданому об’ємі.

Для визначення і розрахунку середніх величин, що характеризують великий ансамбль одиниць, для яких наведені положення задовольнюються, використовуються методи статистичних досліджень, тобто науки статистики. Статистика оперує такими величинами, як імовірність, флуктуація, функція статистичного розподілу, середні значення, то саме такими величинами і можна буде характеризувати газ.

Будемо вважати, що всі напрями в газі рівноймовірні і тому молекули можуть мати швидкість v, що не залежить від напряму. Взаємодіють молекули тільки в результаті пружних зіткнень, а тому матимуть найрізніші швидкості як за напрямом, так і за величиною. Наше завдання полягає в тому, щоб знайти закон, за яким будуть розподілятися швидкості молекул газа.

Позначимо в декартовій системі координат число молекул, швидкості яких в напрямі осі x лежать в межах від до , як . Це буде означати, що імовірність наявності у молекули швидкості дорівнює . Оскільки всі напрями рівноймовірні, то аналогічно в напрямі осей y і z число молекул, швидкості яких лежать в межах від до і від до , буде і відповідно. Таким чином, загальна кількість молекул, що в будь-який момент мають швидкості , і , буде дорівнюватиме добутку і це означає, що вона залежить не від напряму, а тільки від величини швидкості.

Якщо введемо результуючу швидкість як , то тоді добуток можна виразити однією функцією, яка залежить тільки від :

= = . (2.10)

Єдиним рішенням цього рівняння буде функція

, , .

Стала величина а є додатною, оскільки імовірність не може бути від’ємною. Тоді можна записати

= .

Будемо вважати, що при відповідних умовах в газі є загальна кількість молекул N. Тоді частина молекул від N, які мають швидкості в межах від до , дорівнюватиме

=

і в просторі швидкостей в декартових координатах це можна показати, як на рис. 2.2 , де певна частина молекул буде знаходитися у середині вказаного куба.

О

Рис. 2.2

скільки всі напрями швидкостей рівноймовірні, то будуть ще молекули з таким ж швидкостями за величиною, але направлені за всіма напрямами. Щоб визначити загальне число молекул з такими швидкостями, необхідно підрахувати скільки молекул буде в кульовому шарі радіусом і товщиною . Відомо, що об’єм такого шару дорівнює , тоді можна записати, що частина молекул зі швидкостями від до + дорівнюватиме

(2.11)

а загальне число всіх молекул N з допущенням, що вони мають швидкості від =0 до = , буде

. (2.12)

Загальне число молекул газа можна визначити незалежно від цього, тоді з рівняння (2.12) знайдемо сталі а і b. Дійсно, інтеграл в (2.12) буде скінченним тільки за умови, що значення сталої b є від’ємним. Таким чином b<0. Окрім цього, показник експоненти повинен бути безрозмірним, а тому розмірність b має бути оберненою до і можна допустити, що b , де – якась величина з розмірністю швидкості, до того ж однакова для всіх молекул визначеного газу, але залежна від температури, що характеризує стан цього газу.

Після проведення інтегрування в (2.12) при врахуванні, що

, (2.13)

а також, що після диференціювання інтеграла в (2.13) за параметром –

,

отримаємо

1=

і визначимо сталу , тобто .

Підставляючи визначені сталі в (2.11), отримаємо

. (2.14)

Це рівняння називають максвелловським розподілом швидкостей газу у відповідному стані за визначеними значеннями u і N. Графік цього розподілу має такий вигляд, як на рис.2.3.