5.8. Рух електрона в однорідному магнітному й електричному полях. Визначення питомого заряду електрона.

Нехай електрон влітає з швидкістю в однорідне магнітне поле, індукція якого . Форма траєкторії руху електрона залежить від кута між векторами і .

1. Якщо = 0, то і F_л=0, електрон рухається рівномірно і прямолінійно в напрямі лінії магнітної індукції.

2. Якщо (поперечне магнітне поле). Тоді на електрон діє сила Лоренца . Оскільки , то сила Лоренца виконує роль доцентрової сили і доцентрове прискорення буде рівним

Рис.5.9

(5.21)

де е і m- заряд і маса електрона. З механіки відомо, що

, (5.22)

де R – радіус кола, по якому рухається електрон.

З формул (5.20) і (5.21) отримаємо:

(5.23)

Отже, рух електрона в поперечному однорідному незмінному магнітному полі є коловим рухом у площині, перпендикулярній до вектора . Період обертання електрона

(5.24)

Якщо кут відмінний від 90^о і 0⁰, то рух електрона в однорідному магнітному полі відбувається по гвинтовій лінії з кроком

так як це показано на рис.5.9.

Якщо електрон рухається під дією неоднорідного електричного поля перпендикулярного до однорідного магнітного, то його траєкторія руху буде мати вигляд складної замкненої кривої відмінної від кола. Форма такої траєкторії зумовлена тим, що значення швидкості електрона в цьому випадку не є постійна. Такий рух електронів спостерігається у магнетронах – приладах, які використовуються для генерації електромагнітних хвиль надвисоких частот (НВЧ). Метод магнетрона може бути використаний для знаходження питомого заряду електрона . Суть цього методу полягає в тому, що електронну лампу з коаксіальними катодом і анодом ( наприклад 6Е5С ) вміщають в аксіальне поле довгого соленоїда так, щоб напрям індукції магнітного поля співпадав з віссю лампи, вздовж якої розміщується катод. При такому розміщенні вектори напруженості електричного поля і індукції магнітного поля взаємно перпендикулярні.

Проаналізуємо траєкторію електронів, що рухаються під дією розглянутої комбінації електричного і магнітного полів. Будемо вважати, що початкова швидкість електрона, що вилетів із катода , дорівнює нулю, тобто не будемо враховувати теплову швидкість електронів. Тоді очевидно, що при заданій орієнтації електричного і магнітного полів рух електрона буде відбуватися в площині, перпендикулярній до осі електродів. Для розрахунків

скористаємося полярною системою координат, тобто будемо характеризувати положення електрона відстанню від осі катода r і полярним кутом ( Рис.5.10 )

Рух електрона в площині (r, ) із точки 1 у точку 2 зручно описати, якщо скористатися рівнянням моментів

, (5.25)

де q = е = - заряд електрона. Запишемо рівняння (5.25) для руху електрона відносно осі z, напрямленої вздовж катода. Маємо:

(5.26)

П

Рис.5.11

ри знаходженні проекції окремих доданків рівняння (5.23)на вісь z було прийнято до уваги, що де J_z - момент інерції електрона відносно осі z, що становить J_z = mr², звідки Очевидно, що . Більш складним є обчислення проекції другого доданку в рівнянні (5.16), що є подвійним векторним добутком.. Проінтегруємо рівняння (5.26) за часом:

(5.27)

Постійна інтегрування С може бути знайдена з початкових умов. Радіус катода r_к- величина мала, тому на початку руху електрона r теж мала величина, малі й швидкості електронів v, а отже, і величина . Це дозволяє в початковий момент руху вважати, що r = 0. Тоді константа інтегрування С в рівнянні (5.27) буде дорівнює нулю. При цьому отримуємо . ( 5.28 )

Таким чином, кутова швидкість обертання електронів лінійно залежить від В і при даній індукції магнітного поля є величиною сталою. Наявність кутової швидкості обертання в електронів свідчить про викривлення їхніх траєкторій магнітним полем. Приблизний тип траєкторій електронів показаний на рис.5.11. Траєкторія електрона в загальному випадку є кривою із змінною, кривиною, що зменшується при наближенні до анода. Чим сильніше магнітне поле, тим більше викривлення траєкторії електронів. При В = 0 траєкторія є прямою лінією (1 на рис.5.11). При слабкому полі траєкторія дещо викривляється, але електрон все ж таки досягає анода (криві 2, 3). При деякому критичному значенні індукції магнітного поля траєкторія викривляється так сильно, що своєю найбільш віддаленою від катода точкою вона лише дотикається анода (крива 4). І, нарешті, при В>B_кр електрон взагалі не потрапляє на анод і повертається до катода (крива 5). Струм діода при В = В_кр починає різко зменшуватися.

Якщо у ролі вакуумного діода використати електронно-оптичний індикатор 6Е5С, то викривлення траєкторій руху електронів можна спостерігати візуально на спеціальному екрані цієї лампи. Її екран покритий флуоресцентною речовиною (віллемітом), яка світиться зеленим світлом при попаданні на неї електронів.

Якщо магнітне поле соленоїда вимкнене то картинка, що спостерігається на екрані, показана на рис.5.12а. Широку конусоподібну тінь дає відбивальний електрод, дві інші, симетрично розміщені вузькі тіні зумовлені дротинами, що підтримують ковпачок. При вмиканні магнітного поля соленоїда тіні на екрані індикатора зазнають викривлення Рис.5.12б.

Рис.5.12 Вид екрану лампи 6Е5С: а – при відсутності магнітного поля; б – при наявності магнітного поля.

1 – скляний балон; 2- металевий ковпачок; 3 – електронний пучок; 4 – тінь.

Причиною цього явища є викривлення магнітним полем траєкторій руху електронів. При подальшому зростанні магнітного поля із збільшенням струму в обмотках соленоїда область свічення екрану зменшується, поступово стягуючись до його центру. При досягненні індукцією магнітного поля значення В В_кр екран повністю гасне. Це означає, що при В В_кр на поверхню екрану перестали попадати електрони.

Індукцію критичного поля В_кр можна знайти, якщо взяти до уваги, що при В = В_кр радіальна складова швидкості електрона в точці r = r_а ( r_а- радіус анода) перетворюється в нуль. У цій точці є тільки тангенціальна складова швидкості

(5.29)

Магнітне поле роботи над електроном не виконує, тому робота електричного поля при переміщенні електрона від катода до анода дорівнює збільшенню його кінетичної енергії:

, (5.30)

де U - різниця потенціалів між катодом і анодом. Початковою швидкістю електронів, що вилітають із катода , нехтуємо. Підставляючи у формулу (5.30) значення v і з формул (5.28) і (5.29), отримаємо

(5.31)

Індукцію магнітного поля всередині соленоїда можна пов’язати з силою струму, що протікає по ньому , I_с:

і B _{= ,}

де n – кількість витків, що припадає на одиницю довжини соленоїда.

З огляду на останнє співвідношення, рівняння (5.31) можна переписати у вигляді

(5.32)

де

k= . (5.33)

Рівняння (5.32) дозволяє обчислити відношення e/m. Для цього будуємо графік залежності kU від , тангенс кута нахилу якого до осі х (вісь I ) дасть величину відношення e/m.