23

Лабораторная работа № 1. Транспортная задача.

Тема работы: Решение транспортной задачи средствами электронной таблицы Excel.

Цель работы: Ознакомиться со стандартным примером решения транспортной задачи в электронной таблице Excel. Решить собственный вариант задачи.

Теоретическое введение

В транспортной задаче требуется найти оптимальный план перевозок некоторого продукта от заданного множества производителей, занумерованных числами 1, 2, ... , M, к множеству потребителей, занумерованных числами 1, 2, ... , N. Производственные возможности i-го производителя заданы объемом производимого продукта - a_i. Спрос j-го потребителя на этот продукт задается числом b_j. Обозначим планируемый объем перевозок от i-го производителя к j-ому потребителю как x_ij. В этих условиях должны быть выполнены балансовые соотношения:

(1.1)

Для существования допустимого плана перевозок должен выполнятся общий баланс между спросом и потреблением:

При этом транспортную задачу называют сбалансированной. Можно убедиться, что в сбалансированной транспортной задаче

(1.2) являются допустимым вариантом перевозок, то есть удовлетворяющим ограничениям (1.1).

Целью решения транспортной задачи является минимизация суммарных транспортных расходов. Если предположить, что стоимость перевозки продукта линейно зависит от объема перевозки и характеризуется числами c_ij, где c_ij - стоимость перевозки единицы продукта от i-го производителя к j-му потребителю, а x_ij - обьемы перевозок, то целевая функция в транспортной задаче принимает вид:

(1.3)

и задача заключается в минимизации (1.3) при выполнении ограничений (1.1) и условия неотрицательности переменных x_ij. Переменные x_ij можно представить в виде матрицы.

Описанный вариант транспортной задачи называется транспортной задачей в матричной постановке. В такой задаче разрешаются связи между произвольными поставщиками и потребителями. На практике зачастую некоторые связи между определенными поставщиками и потребителями невозможны или нежелательны из-за разного рода внемодельных соображений (отсутствие дорог, специфика погрузочно-разгрузочного оборудования и тому подобное).

Чтобы отобразить подобного рода ситуации, транспортную задачу формулируют в сетевом виде, задавая и фиксируя структуру связей поставщик  потребитель. Связи можно задать списком , использовав вместо имен потребителей их индексы.

Пример простейшей транспортной задачи и ее аналитического решения.

В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозится 50 т муки, со второго - 70 т. Эта мука доставляется на хлебозаводы, причем первый завод получает 40 т, второй - 80 т. Допустим, что перевозка одной тонны муки с первого склада на первый завод стоит 1,20 у.е., с первого склада на второй завод – 1,60 у.е., со второго склада на первый завод – 0.80 у.е. и со второго склада на второй завод – 1,0 у.е. Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?

Математическое описание выше приведенной задачи.

Для подобных задач удобно использовать двойную индексацию. Первым индексом обозначим пункт отправления, вторым – пункт прибытия. Тогда x11 и x12 обозначают количество муки, которую следует перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а x21 и x22 - количество муки, которую нужно перевезти со второго склада на первый и второй заводы. Эти условия приводят к системе уравнений

x11 + x12 = 50,

x21 + x22 = 70, (1.4)

x11 + x21 = 40,

x12 + x22 = 80,

x_ij >= 0, i = 1, 2; j = 1, 2. (1.5)

Первые два уравнения системы определяют, сколько муки нужно вывести с каждого склада, два других уравнения показывают, сколько муки нужно привезти на каждый завод. Неравенства (1.5) означают, что в обратном направлении с заводов на склады муку не возят. Общая стоимость всех перевозок определяется формулой

f = 1,2x11 + 1,6x12 + 0,8x21 + 1x22. (1.6)

Сформулированная задача заключается в том, чтобы найти числа x_ij (i = 1, 2; j = 1, 2), удовлетворяющие условиям (1.4), (1.5) и минимизирующие стоимость перевозок (1.6). Рассмотрим систему (1.4). Это система четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Независимыми в ней являются первые три уравнения, 4-е - их следствие (если сложить 1-е и 2-е уравнения и вычесть 3-е, получится 4-е. Таким образом, фактически нужно рассмотреть следующую систему, эквивалентную (1.4):

x11 + x12 = 50,

x21 + x22 = 70, (1.7)

x11 + x21 = 40,

В ней число уравнений на единицу меньше числа неизвестных, так что можно выбрать какую-нибудь неизвестную, например x11 и выразить через нее три остальные. Получим новую систему:

x12 = 50 – x11,

x21 = 40 – x11,

x22 = 30 – x11 (1.8)

Или, с учетом (1.8):

x11  0

50 – x11  0

40 – x11  0 (1.9)

30 + x11  0,

в которой 0  x11  40

Таким образом, задавая любое x11, удовлетворяющее заданному для него ограничению, и вычисляя x12, x21, x22 по формулам (1.8), мы получим один из возможных планов перевозки. При реализации этого плана с каждого склада будет вывезено и на каждый завод доставлено нужное количество муки. Вычислим стоимость перевозок. Для этого подставим (1.8) в формулу (1.6). В результате получим:

f = 142 – 0,2x11 (1.10)

Эта формула определяет величину f как функцию одной переменной x11. Стоимость окажется минимальной, если придать величине х11 наибольшее возможное значение: x11 = 40. Значения остальных величин x_ij находятся по формулам (1.8).

Итак, оптимальный по стоимости план перевозок имеет вид

x11 = 40, x12 = 10, x21 = 0, x22 = 70

Стоимость перевозок в этом случае составляет 134 р. При любом другом допустимом плане перевозок она окажется выше: f > f_min = 134.