2.9. Уравнение фурье теплопроводности

ОСНОВНОЙ ЗАКОН

Уравнение теплопроводности Фурье является фундаментальным урав­нением, которое отражает основные условия распространения тепла в твердом теле. Приведем его в трех различных системах координат: а) декартовы координаты

дЧ , дЧ , дЧ 1 д( _{223}

дх² ду^г дг² а дх

где а = Х/рс — температуропроводность; б) цилиндрические координаты

дЧ , 1 д( , 1 дЧ- , Э²/ 1 д1

дг²

а дх

дг² г дг г² дсЬ через соотношения

х = г соз ф; у = г 5Ш ф; в) сферические координаты

д²1 , 2 д1 , 1 дЧ ,

(2.24)

сс

"У

Рис. 2.2

Эг^а

1

■ г дг

д²* ,

г²&\п²м(,дф² i д{

а

д(_ дх

(2.25)

г. Эг|>^а г^а*_г|> а-ф через соотношения:

х = г соз ф -5гп ф;

У — г 51П ф •5-П'ф/, 2 = Г С05\[).

Из-за трудности получения аналитичес" ких решений этих определяющих уравне" ний в частных производных считается, что большинство инженерных проблем по теп­лопроводности могут быть удовлетвори­тельно решены с помощью уравнения Фурье в предположении одномерности или двумерности температурного поля.

Широко используемые дифференциаль­ные уравнения с основными решениями, представленными в общей форме, приве­дены в табл. 2.7. В табл. 2.8 перечислены общепринятые гранич­ные условия для случая передачи тепла теплопроводностью.

34

Теплопередача и изменение температуры в телах с низким внешним термическим

Обозначения: т — время, с;

(о — начальная температура тела для т = О, °С; (_ж — температура окружающей среды (постоянная), °С; I — температура тела, зависящая от времени н координат, °С; Р — площадь поверхности, м²; X — коэффициент теплопроводности, Вт/(м . ^СС); г — радиальная координата, м; х — координата в направлении х, м; а — Х/рс — температуропроводность, м²/с;

с — удельная теплоемкость, Дж/(кг . °С);

р — плотность, кг/м³;

б — половина толщины пластины, м;

Система

Схематическое представление

Распределение температуры

Неограничен­ная плоская пластина тол­щиной 26

_т2

(2п-1)

X

п=\, 2...

Хехр{—[(2л— 1)л/2б]²ст} х 12п—\

X сох

26

лх (-1)"

Неограничен­ный круглый цилиндр ра­диусом #

^ уехр[-(р„/Я)²х

/1=1, 2...

Хат]

'о [Рп (г/К)]

где р„ —корни (Р) = О

Сфера радиу­сом /?

2 Я ^ (-1)"+'

п г

п

п=1, 2...

X ехр [—(ял/Я)² ат] х

Таблица 2.5

ветственно.
	Количество тепла, переданного поверх­ностью в единицу времени, ^|(^т—^^,)	Полное количество тепла, переданного поверхностью за время т, «полн/<'ж-'->
	оо 2ХР V ехр {— [(2л— 1)п/2б]2ат} я=1. 2...	8Ш " 1 л2о __• (2п—I)2 Х п=\, 2... X {1—ехр[ — ((2л— 1) л/2б)2 от]}
	оо 4лХ 2 ехр[-(р„//?)2ат] л=1, 2... на единицу длины	АлХ . ~ 1 л=1,2... Х{1-ехр [-(р„//?)аот]> на единицу длины
	00 8кЩ 2 ехР [—(пл//?)2ат] л=1 2...	8М?3 » ] па __ л2 {'-^[-N/^^1} л=1,2...
	1Р "V'лот	2ХР\/~— у ла

36

сопротивлением (а-> оо)

/? — радиус цилиндра или сферы, м; п — целое число (1, 2, 3 ...);

<3 — тепловой поток с поверхности за единицу времени, Вт; Фполн — полное количество тепла, переданного поверхностью за время т, Дж;

2

егГ г — функция ошибок, равная (21~\/п) [ ехр (—Р²) <*Р;

о

Р„ — корни функции Бесселя нулевого порядка;

и (Р«) = 0, например, р_х = 2,405; Р. = 5,520; Рз = 8,654; р₄ = 11,792-; р. = 14,931 и т. д. ■^о. Л — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков соот-

Теплоотдача с поверхности и изменение температуры в телах с ограниченными

Обозначения: т — время, с;

<о — начальная температура тела при т = О, °С;

1_т—температура окружающей среды, имеющая постоянное значение, °С; I — температура тела, зависящая от времени и координат, °С; Р — площадь поверхности, м²; а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м² • °С); Я — коэффициент теплопроводности, Вт/(м • °С); г — радиальная координата, м; х — координата в направлении х, м; а = Х1рс — температуропроводность, м²/с; с — удельная теплоемкость материала, Дж/(кг . °С);

Система

Схематическое представление Распределение температуры

Неограничен­ная плоская пластина тол­щиной 26

«=1,2...^{у2рп + 5}'^П2^

Хехр [-(_Рп/в)»от]х

х соз)^ — .

где —корни

Рп*8Рп=-

аб

Неограничен­ный круглый цилиндр ра­диусом #

л=1,2...

Хехр [-(Рп/ЛРот], где —корнн р„--=

* Л(рп)

Сфера радиу­сом Я

•у 31п р_п—Рпсозру „=12... 2_Рп-81п2_Р„ Хехр [-(Рп/#)² «т]х

81п [р_д «,г/Я)1

Рп г1Я ' где — корни РпХ

Полуогранн-ченное твердое тело

+ехр[(ал:/А,)+(а²а/А,²)т]х

X

I—егГ —7= +

37

Таблица 2.6 значениями внутреннего и внешнего термического сопротивления

р — плотность материала, кг/м³; б — половина толщины пластины, м; Я — радиус цилиндра или сферы, м; п — целое число (I, 2, 3 ...); Фполв — полное количество тепла, переданного поверхностью за время т, Дж;

2 ?

ег! 2 — функция ошибок, равная —т= I ехр (—Р²) й$;

У я о

Р„ — корни трансцендентных уравнений; _Г₀, /₁ — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка соответ­ственно.

количество тепла, переданного поверх­ностью за единицу времени, <1ц1_т—1_й)

полное количество тепла, переданного поверхностью за время x, Я_аолвИ^у_к~М

4^ ^ Р_п51п^а К

б _п**₂ 2р„ + 51п2р„ ехр[-(р„/6)^аот]

ШР -г, а 2л

51п² Р„

/1=1,2..

2р²+р„ 51п2р„

X

Х{1-ехр [-(р„/б)²от]}

X ехр.[—(Рл/Я)² от]—на единицу длины

А (Р„)

X

⁰ п_Г_..^р» ■'в (Эп)+^!(Р»)

X {I — ехр[— (Р„/Д)²от]} — на еди ннцу длины

(81п Р_П-Р_пс05 р„)^а

^{16 лХ/? 2}

п=1,2... '

Хехр[-(р₇₁//?)²от]

Р„ (2 р„-₅!п2р„)

X

16л№ -гц ($1пРп —р_д созРгс)², ° п=^2...^р»^{(2рп_81п2р,1) :}

Х{1-ехр ]-(Р„/Д)² от]}

у^=+_Техр[(«²/А,²)от]х

лот ' \

^1_егГ,~Х К от а _

7^" "[/лаг

X ехр (— (д-уд*) от)]}

А («ж-«о)

38

Основные решения некоторых распространенных дифференциальных уравнений теплопроводности

Таблица 2.7

Обозначения: I — температура, °С; х, у, г — декартовы координаты; г, Ф у г — цилиндрические координаты; ^г> Ф > 'Ф — сферические координаты; а = Х/ср — температуропроводность, м²/с;

<7„ — объемная плотность источников тепла, Вт/м³; X — коэффициент теплопроводности, Вт/(м > °С); с — удельная теплоемкость, Дж/(кг , °С); р — плотность материала, кг/м³; т — время, с; т² = аР1Х8, м-²; Р — периметр, м;

5 — площадь поперечного сечения, м²; ^п, Уп — функции Бесселя первого и второго рода я-го порядка; ■/п, К_п — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода п-го порядка;

Ль — функции Лежандра первого и второго рода п-го порядка; % — собственные числа.

Интегральные постоянные С_ъ С₂ и ^ определяются из начальных и гранич­ных условий задачи.

с
с 2	Дифференциальное Уравнение	Общее решение	Примечание

&1

ах^г

=о

йЧ

&1 йх^г йЧ

—тЧ = 0

■+-^ = 0 йх² ^ X

дН йЧ их^{2 +} йу²

Стационарное состояние

I — С\ з'щ тх + С₂ соз тх I — С_х зЬ тх + С₂ сЬ тх

= 0

йг² ^ г

№ 1 йг² г

1_

йг

= 0

ач й1 йг² аг + (т²г² + п²) 1 = 0

_{^-^-х² + С_1Х+С₂ I = (С_х 5ш &+С₂ соз &с) X

1 = С₁\пг + С₂ 1=С₁]_П (тг) + С_гУ_п (тг)

Одномерная задача, пластина

Теплообмен между поверхностью и окружа­ющей средой

То же

Одномерная задача с внутренним источни­ком тепла <7„

Двумерная задача, плита

Симметричная зада­ча в цилиндрических ко­ординатах

Задача с внутренним источником тепла в ци­линдрических коорди­натах

Основная одномерная задача в цилиндриче­ских координатах

39

Продолжение табл. 2.7

с с	Дифференциальное ураваеине	Общее решение	Примечание
9	т 6Л тг-_1_г--	1 = С11п (тг) + С2Кп (тг)	Основная одномерная задача в цилиндриче­ских координатах
10	дЧ 1 д1 дЧ дг2 г дг дг2~	<=[СЛ(Сг) + С2К0(Сг)]Х Х(С3зп _г+С4сп_г)	Двумерная симмет­ричная задача в цилинд­рических координатах
11	дг2 г дг ^дф2	( = (С11^ + С2г-^) X X (С3 5Ш 1,ф + С1 СОЗ $ф )	Двумерная задача в цилиндрических коор­динатах
12	**. + -?- *=0 йг2 г йг	{- 01 + С-	Одномерная задача в сферических координа­тах
13	+ л(я+1). = 0	< = С1Р„(г) + СЛп (<-)	Основная одномер­ная задача в сфериче­ских координатах
14	л *М+ 1 ' X Х51ПТр——=0	X Рп (соз г|>)	Двумерная задача в сферических координа­тах
	Нестационарное состояние
15	52. 1 д( дх2 ~~ а дх	/ = е-^ат(С18ш 1х + + С2 соз 2;л:)	Одномерная задача, плита
16	дЧ 1 дЬ 1 д^^ г дг" а дх	+ С^(уСГ-)]	Одномерная задача в цилиндрических коор­динатах
17	дЧ 2 д1 \ д дг2 г дг а дх	/==-ре-5,и(С1зш&-г-+ Сг соз (/)	Одномерная задача в сферических координа­тах

40

Таблица 2.8

№ п. п.	Граничное условие	Аналитическое выражение
1	Температура иа границе описывает ся выражением /ж=/(т) прн инзком внешнем термическом сопротивлении
2 3	Изолированная поверхность Постоянный тепловой поток на по­верхности
4	Границы двух тел с различной теп­лопроводностью прн плотном контак­те и с низким контактным термиче­ским сопротивлением	\дп)$ \ йп Л
5	Границы двух тел с различной теп­лопроводностью при скользящем кон­такте
6 7	Конвективный теплообмен на гра­нице Лучистый теплообмен иа границе
8	Лучистый и конвективный тепло­обмен иа границе	+еа0 (Г!-71)=(ал+ас) X Х(Та-Тж)

41

Граничные условия при теплообмене теплопроводностью

Обозначения:

а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м² • °С); «л — лучистый коэффициент теплоотдачи, Вт/(м² • °С); «л = еа₀ (/} + ф (/, + /_ж);

\ — коэффициент теплопроводности, Вт/(м . °С);

р — давление на границе, Н/м²;

^₃ — плотность теплового потока, Вт/м²;

Ф — угловой коэффициент;

V — относительная скорость, м/с;

Т — абсолютная температура. К;

е — коэффициент излучения (степень черноты поверхности); а₀ — постоянная Стефана—Больцмаиа; / — коэффициент треиия.

Индексы: к — конвекция;

ж — жидкость или окружающая среда; з — поверхность.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

2.1. Роипег Л. В. Л. ТЬеопе апа!уЩис с1е 1а спа1сиг, Рапз, 1822, Еп^ИзЬ 1гапз1. (Ргеетап). СатЬпс1де, 1878.

2.2. Сагз1а\у М. 8., Лае^ег Л. С. Сопо'исИоп о! Неа! т 5оПс1з. 2пс1 ес1. С1агешЗоп Ргезз. Ох.огс!, 1959.

2.3. 1пгеГ5о11 Ь. К., 2оЬе1 О. У МаШетаНса! Тпеогу о1 Неа! СошлисИоп. Воз1оп, Сипл апс! Со., 1913.

2.4. 1пвег5о11 Ь. К., 2оЬе1 О. У, 1пп;ег5о11 А. С. Неа1 Сопс1исЬ'оп. ШК'егзИу о! ХУЧзсопзш Ргезз, МагЛзоп, 1954.

2.5. ЗсЬпеМег Р. У СопйисНоп Неа1 ТгапзГсг. 61п ес1. А(Мзоп-\Уез1еу, 1974.