1.3. Шесть функций сложного процента

Первая функция сложного процента – это фактор будущей стоимости текущего (сегодняшнего) капитала.

FV = PV*(1+i)n

(1.4)

FV – это будущая стоимость текущего капитала (future value);

PV – текущая стоимость капитала (present value);

i – ставка процента;

n – количество периодов.

В каких случаях используется формула сложного процента:

Мы имеем какую-то сумму денег. Мы хотим положить ее в банк под определенный процент, на определенный срок (год, месяц, квартал). При этом мы хотим знать: сколько будут стоить наши деньги в конце срока вклада.

Пример. Допустим у нас есть 1 руб. и мы кладем его в начале года в банк, под 10% годовых на 5 лет. Сколько будет стоить этот руб. через 5 лет?

FV = 1 руб.*(1+10%)⁵ = 1,61 руб.

Пример. Вы положили деньги в банк 1000 руб. под 24% годовых на 1 год. Аккумулирование (т.е. начисление %) происходит два раза в год по фиксированной годовой ставке. Надо определить периодическую ставку (i_p), будущую стоимость текущего капитала (FV), величину дохода на капитал (Д) и фактическую годовую ставку (i_ф).

Определим периодическую ставку, в данном случае – полугодовую: i_p= i_г/2 = 24% /2 =12%

Определим будущую стоимость текущего капитала: FV =1000(1+0,12)² = 1254,4 руб.

Определим величину дохода на капитал: Д = FV – PV = 1254,4 – 1000 = 254,4 руб.

Определим фактическую годовую ставку: i_ф= (FV–PV)/PV=(1254,4–1000)/1000=0,2544=25%

Фактическая ставка включает начисленные сложные проценты, поэтому она всегда больше, чем номинальная ставка. Кроме того, чем больше периодов начисления процентов в году, тем эта разница будет существеннее.

Пример. Через сколько лет произойдет удвоение капитала, если известно, что годовая номинальная ставка, под которую положили деньги в банк равна 12%?

Решение этой задачки основано на использовании так называемого «правила 72-х». Согласно этому правилу, количество лет, через которое произойдет удвоение вложенной суммы, определяется по формуле: 72 / номинальная годовая ставка %

72 / 12% = 6 лет.

Правило дает удовлетворительный ответ при ставке, находящейся в диапазоне от 3 до 18%.

Вторая функция сложного процента – фактор будущей стоимости аннуитета.

Она предназначена для определения будущей стоимости равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же сумму денег (РМТ) в течение какого-то времени(1,2,3 года и т.п.).

РМТ (payment) – единовременный платеж в периоде k. (периоды одинаковые).

Серия таких платежей называется аннуитетом.

Различают обычный и авансовый аннуитет.

Будущая стоимость обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода). Его будущая стоимость выражается в формуле:

FVк =	(1+i)n -1	*PMT	(1.5)
	i

Будущая стоимость авансового аннуитета (платежи в начале каждого периода). Будущая стоимость этого аннуитета выражается следующей формулой:

FVн = [	(1+i)n+1 -1	-1]	*PMT	(1.6)
	i

Пример. Чтобы накопить себе на автомобиль, вы решили откладывать в банк по 1000 $ каждый год при 12% годовых в течение 5 лет. Как лучше откладывать деньги (в конце или в начале года), чтобы получить через 5 лет большую сумму и сколько денег окажется на вашем счете через 5 лет?

Определим, сначала, сколько денег мы получим через 5 лет, если будем откладывать в конце каждого года:

FVк =	(1+12%)5 -1	*1000$	=6353 $
	12%

Теперь определим, сколько денег мы будем иметь в том случае, если вклады делать в начале каждого года?

FVн = [	(1+12%)5+1 -1	-1]	*1000$	= 7115 $
	12%

Таким образом, получается, что вкладывать в начале каждого года гораздо выгоднее, чем в конце.

Третья функция сложного процента – фактор фонда возмещения.

Фактор фонда возмещения – это величина платежа, который необходимо депонировать (вкладывать) в каждом периоде при заданной ставке годового процента, чтобы в последнем периоде получить на счете определенную (желаемую) сумму. Т.е. допустим, мы хотим получить 1 миллион рублей через пять лет. Для этого можно положить деньги в банк. Нам известна величина банковского процента. Фактор фонда возмещения (ФФВ) определяет величину периодических равновеликих платежей, которые нам придется платить эти 5 лет. То есть ФФВ - это то же РМТ.

Различают Фактор Фонда Обычного Возмещения и Фактор Фонда Авансового Возмещения, в зависимости от того, когда (в конце или начале периода) производятся платежи.

Фактор Фонда Обычного Возмещения (платежи в конце каждого периода):

ФФОВ =	РМТ =	_____i___	*FV	(1.7)
		(1+i)n - 1

Фактор Фонда Авансового Возмещения (платежи в начале каждого периода):

ФФАВ =	РМТ =	______i______	*FV	(1.8)
		(1+i)n+1 – (1+i)

2-я и 3-я функции сложного процента взаимосвязаны между собой через формулы. 2-я функция – это определение FV, а 3-я – это определение PV.

Пример. Вы взяли у своего знакомого в долг и через 5 лет должны вернуть 1000$. Чтобы проще было расплатиться с долгами, вы решили откладывать деньги в банк каждый год. Банковская ставка также равна 15% годовых. Как выгоднее депонировать деньги – в начале года или в конце года? Какую сумму вы должны депонировать в банке, чтобы в конце 5-го года выплатить эту 1000$?

1. Фактор Фонда Обычного Возмещения:

ФФОВ =	_____15%___	*1000$	= 148 $
	(1+15%)5 - 1

1. Фактор Фонда Авансового Возмещения:

ФФАВ =	_______15%________	*1000$	= 129 $
	(1+15%)5+1 – (1+15%)

Из расчетов видно, что гораздо депонировать деньги в начале каждого года.

Пример. Вы взяли льготный беспроцентный кредит в размере 10000$ на 5 лет. Какую сумму вам необходимо депонировать ежемесячно в банке для возврата этого кредита, если номинальная годовая банковская ставка составляет 15%, а аккумулирование (начисление процентов на остаток на счете) происходит ежемесячно. Как выгоднее депонировать деньги в банк – в начале или в конце месяца?

1. Фактор Фонда Обычного Возмещения:

ФФОВ =	_____1,25%____	*10000$	= 113 $
	(1+1,25%)5*12 - 1

2. Фактор Фонда Авансового Возмещения:

ФФАВ =	________1,25%__________	*10000$	= 111,5 $
	(1+1,25%)5*12+1 – (1+1,25%)

Каждый месяц вам выгоднее откладывать по 111,5 $.

Четвертая функция сложного процента – фактор текущей стоимости будущего капитала.

Текущая стоимость будущего капитала – это сегодняшняя стоимость капитала, который должен быть получен в будущем. Математически выразить текущую стоимость будущего капитала можно следующим образом:

PV = FV /(1+i)ⁿ (1.9)

Как вы заметили 4-я и 1-я функция сложного процента взаимосвязаны между собой одной формулой. 1-я функция определяет будущую стоимость текущего капитала.

Пример. Вы решили накопить 12000$. Эта сумма понадобится вам через 4 года. Сколько денег сегодня вы должны положить в банк под 10% годовых, чтобы через 4 года получить 12000$.

PV = 12000$ /(1+10%)⁴ = 8196 $

Пятая функция сложного процента – фактор текущей стоимости аннуитета.

5-я функция предназначена для определения текущей стоимости (PV) равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же сумму денег (РМТ) в течение какого-то времени (1,2,3 года и т.д.) при известной норме прибыли (i).

В этом смысле, 5-я функция несколько похожа на 2-ю функцию сложного процента, с той лишь разницей, что 2-я определяет FV.

Различают фактор текущей стоимости Обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода) и Авансового Аннуитета (платежи в начале каждого периода).

Текущая стоимость обычного аннуитета:

PVк=	1 – (1+i)– n	*PMT	(1.10)
	I

Текущая стоимость авансового аннуитета:

PVн=[	1 – (1+i)– ( n – 1)	+1]	*PMT	(1.11)
	i

Пример. Какова текущая стоимость потока доходов, если известно, что ежегодный доход в 100$ приносится в конце каждого года на протяжении 4-х лет, если на вложения с аналогичным уровнем риска можно получить 10% годовых?

1. Если платежи будут производится в конце каждого года то:

PVк=	1 – (1+10%) – 4	*100	= 316,9 $
	10%

2. Если платежи будут производится в начале каждого года:

PVн = [	1 – (1+10%) – (4 – 1)	+1]	*100	= 348,6$
	i

Шестая функция сложного процента – фактор амортизации капитала.

6-я функция определяет размер равновеликих периодических платежей (РМТ), погашающих за определенное число периодов (n) основную сумму кредита (PV) и процент по нему.

Выплата по проценту – это плата за представленный кредит. 6-я функция взаимосвязана с 5-й функцией. В зависимости от того, как платятся взносы: различают обычный взнос на амортизацию и авансовый.

Обычный взнос на амортизацию (платежи в конце периода):

РМТк =	PV*i___	(1.12)
	1 – (1+i) – n

Авансовый взнос на амортизацию (платежи в начале периода):

РМТн =	PV*i_____	(1.13)
	(1+i) – (1+i) – (n – 1)

Пример. Вы взяли кредит в банке в размере 15000$ на 5 лет под 12% годовых, и собираетесь рассчитаться по нему путем периодических платежей в конце каждого года. Какую сумму нужно вам платить каждый год, чтобы рассчитаться и с основным долгом (15000$) и с процентами по нему?

1. Если платежи в конце года:

РМТк =	15000$*12%___	= 4161$
	1 – (1+12%) – 5

2. Если платежи в начале года:

РМТн =	15000$*12%_____	= 3715$
	(1+12%) – (1+12%) – (5 – 1)

Контрольные вопросы

1. Охарактеризуйте понятие инвестиций, приведите варианты их классификации.

2. В чем заключаются основные отличия между инвестициями и капитальными вложениями?

3. Что представляет собой инвестиционная деятельность, и из каких этапов она состоит?

4. Какие субъекты инвестиционной деятельности можно выделить? Их отличия и основные характеристики?

5. Объекты инвестиционной деятельности, их отличия и основные характеристики.

6. Реципиент, как субъект инвестиционной деятельности?

7. Какова структура инвестиционного рынка?

8. Какова структура инвестиционного рынка в России? Перечислить и охарактеризовать его составляющие.

Тесты

1.1. Какие из приведенных ниже вложений в большинстве случаев не относятся к инвестициям?

1. приобретение иностранной валюты;

2. вложения в облигации на вторичном рынке;

3. вложения в депозитные сертификаты;

4. лизинговое финансирование;

5. вложения в акции на первичном рынке.

1.2. Основными целями инвестирования являются:

1. получение прибыли;

2. достижение социального эффекта;

3. накопление капитала

1. Прямые инвестиции предполагают:

1. привлечение финансовых посредников к реализации инвестиционных проектов;

2. использование внутренних источников финансирования инвестиций;

3. непосредственное участие инвестора в выборе объектов инвестирования и вложения капитала.

1. Какой из перечисленных ниже субъектов экономики не является участником (исполнителем) инвестиционной деятельности?

1. инвестор;

2. исполнитель;

3. проектировщик;

4. подрядчик;

5. страховое общество.

1. В какой сфере протекает инвестиционная деятельность?

1. услуг;

2. обращения;

3. материального производства;

4. нематериального производства.

1. Инвестиционная деятельность коммерческих банков в сфере реального инвестирования имеет следующие формы:

1. инвестиционное кредитование;

2. инвестирование в ценные бумаги;

3. проектное финансирование;

4. долевое участие.

1.7. Какие из приведенных ниже элементов относятся к материальным элементам инвестиций?

1. коммуникации;

2. природные ресурсы;

3. вложения в человеческий капитал;

4. ценные бумаги;

5. патенты, лицензии.

1.8. Что лежит в основе деления инвестиций на реальные, финансовые и инвестиции в нематериальные активы?

1. объекты вложения инвестиций;

2. воспроизводственные формы;

3. стадии инвестиционного процесса;

4. субъекты инвестиционной деятельности.

9. Концепцию инвестиционного мультипликатора разработал:

1. Р.Ф. Кан;

2. Самуэльсон;

3. Дж. М. Кейнс.

9. Инвестиции в нематериальные активы - это:

1. вложения в торговые марки, товарные знаки, авторские права и т.д.;

2. затраты на приобретение объектов природопользования;

3. вложения в оборотные средства предприятия.

Задачи для практических занятий

Задача 1.1.

Рассчитайте ежегодный взнос для оплаты квартиры стоимостью 800 тыс. руб., купленной в рассрочку на 10 лет под 12%.

6 функция

РМТ к = 176050 р.

РМТ н = 126351,8 р.

Задача 1.2.

Рассчитайте ежегодный взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.

3 функция:

РМТ к =

РМТ н =

Задача 1.3.

Рассчитайте взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.

4 функция:

PV = 800 \ (1+0,12) ¹⁰ =

Задача 1.4.

Квартира продана за 800 тыс. руб., деньги приносят 12% годового дохода. Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет?

1 функция FV = 800 *(1+0,12) ¹⁰ =

Задача 1.5.

Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет, если ежегодно откладывать по 80 тыс. руб. под 12%?

2 функция

РМТ к =

РМТ н =

Задача 1.6.

Сколько стоила квартира, купленная в рассрочку на 10 лет под 12% годовых, если ежегодный взнос составляет 80 тыс. руб.?

5 функция

PV к =

PV н =