§2. Центральные и вписанные углы.

70.

○Определение. Дугой окружности называется каждая из двух частей, на которые две точки разделяют окружность.

○Определение. Полуокружностью называется дуга, концы которой соединяет диаметр этой окружности.

*○Определение. Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре окружности (а стороны ее пересекают).

○Определение. Градусная мера дуги, которая меньше полуокружности (или равна), считается равной градусной мере центрального угла, стороны которого проходят через ее концы.

○Определение. Градусная мера дуги, которая больше полуокружности, считается равной 360 без градусной меры центрального угла, стороны которого проходят через ее концы.

Замечание. Сумма градусных мер двух дуг окружностей с общими концами равна 360.

71.

○Определение. Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

○Определение. Вписанный в окружность угол называется опирающимся на ее дугу, если дуга расположена внутри него, а ее концы лежат на его сторонах.

Теорема (свойство вписанного угла). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

●Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой.

Теорема (о двух пересекающихся хордах). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

○Теорема ( 659). Градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордами, равны.

○Теорема (об угле между касательной и секущей( 664)). Угол между касательной и секущей, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между ними.

○Теорема ( 668). Перпендикуляр, проведенный из любой точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые он делит диаметр.

○Теорема (о длине касательной и секущей( 670)). Если АВ - касательная (где В – точка касания), а АP секущая (причем P и Q точки пересечения ее с той же окружностью), то .

§3. Четыре замечательные точки треугольника.

72.

Теорема (Свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

●Теорема (обратная к свойству биссектрисы угла). Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе.

Следствие (Свойство биссектрис треугольника). Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

○Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через его середину и перпендикулярная к нему.

●Теорема (Свойство серединного перпендикуляра к отрезку). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

*●Теорема (обратная к свойству серединного перпендикуляра к отрезку). Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

*Следствие (Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника). Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

73.

Теорема (Свойство высот треугольника). Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

○Определение. Замечательными точками треугольника называются 4 точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений).