Глава 6

Площадь

§1. Площадь многоугольника.

48.

○Не определение! Площадь многоугольника - это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

○Замечание 0. Площадь квадрата со стороной 1 равна 1 квадратной единице.

Замечание 1. Равные многоугольники имеют равные площади.

●Замечание 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме их площадей.

Замечание 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

50.

Теорема (площадь прямоугольника). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

§2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции.

51.

○Определение. Основанием параллелограмма называется одна из его сторон.

○Определение. Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный к прямой, содержащей основание, из любой точки противоположной стороны.

Теорема (площадь параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

52.

○Определение. Основанием треугольника называется одна из его сторон.

●Теорема (площадь треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к нему.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие 2. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания.

●Теорема (об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу). Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

53.

○Определение. Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

§3. Теорема Пифагора.

54.

Теорема (Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

55.

Теорема (обратная теореме Пифагора). Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

○Определение. Пифагоровыми треугольниками называются прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами.

Глава 7

Подобные треугольники

§1. Определение подобных треугольников.

56.

○Определение. Отношением отрезков АВ и СD называется отношение их длин.

○Определение. Отрезки АВ и CD называются пропорциональными отрезкам A B и C D , если .

57.

○Определение. Если все углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то сходственными сторонами называются стороны этих треугольников, лежащие против соответственно равных углов.

Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

○Определение. Коэффициентом подобия называется число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

58.

Теорема (об отношении площадей подобных треугольников). Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

○Теорема (Свойство биссектрисы треугольника ( 535)). Биссектриса треугольника делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.