§2. Компланарные векторы.
39.
○Определение. Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Следствие 1. Любые два вектора компланарны.
Следствие 2. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.
Теорема (признак компланарности векторов). Если вектор можно разложить по векторам и , т. е. представить в виде , где x и y - некоторые числа, то векторы , и компланарны.
○Теорема (обратная к признаку компланарности векторов). Если векторы , и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причем единственным образом.
41
●Теорема (о разложении вектора по трем некомпланарным векторам). Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем единственным образом.
Глава 5
Метод координат в пространстве
§1. Координаты точки и координаты вектора.
42.
○Определение. Прямоугольная система координат называется заданной, если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление и единица измерения отрезков.
43.
○Определение. Вектор называется единичным, если его длина равна единице.
○Определение. Координатными векторами называются три единичных вектора, отложенные от начала координат так, чтобы направление одного из них совпало с направлением оси Ох, другого - оси Оу, а третьего - оси Оz.
○Определение. Координатами вектора в данной системе координат называются коэффициенты в разложении этого вектора по координатным векторам.
○Замечание 1. Координаты нулевого вектора равны нулю.
Замечание 2. Координаты равных векторов соответственно равны.
Теорема 1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Теорема 2. Каждая координата разности двух или более векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Теорема 3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
44.
○Определение. Радиус-вектором данной точки называется вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало - с началом координат.
Теорема. Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.
Теорема (о координатах вектора). Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
45.
Теорема 1 (о координатах отрезка). Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
○Теорема
2 (о длине вектора).
Длина вектора равна корню из суммы
квадратов его координат. (Длина вектора
вычисляется по формуле
).
Теорема
3 (о расстоянии между двумя точками).
Расстояние между точками
и
вычисляется по формуле
.
§2. Скалярное произведение векторов.
46.
Определение. Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
47.
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
Теорема. Скалярное произведение ненулевых векторов равно 0 тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
○Определение. Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение вектора на себя.
○Теорема. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Теорема.
Скалярное произведение векторов
и
выражается формулой:
.
Теорема.
Ненулевые векторы
и
перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно
0 (
).
Теорема.
Косинус угла между ненулевыми векторами
и
выражается формулой:
.
○Теорема (основные свойства скалярного произведения векторов). Для любых векторов , , и любого числа k справедливы соотношения:
, причем >0 при ;
(переместительный закон);
(распределительный закон);
(сочетательный закон).
48.
○Определение. Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, лежащий либо на этой прямой, либо на параллельной.
○Теорема.
Косинус угла между прямыми с направляющими
векторами
и
выражается формулой
.
○Теорема.
Синус угла между прямой с направляющим
вектором
и плоскостью с перпендикулярным ей
вектором
выражается формулой
.