§3. Правильные многогранники.
31.
○Определение.
Точки
А
и
называются симметричными
относительно точки
О
(центра симметрии), если О
- середина отрезка
.
○Замечание. Точка О считается симметричной самой себе.
○Определение. Точки А и называются симметричными относительно прямой а (оси симметрии), если прямая а - серединный перпендикуляр к отрезку .
○Замечание. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.
○Определение. Точки А и называются симметричными относительно плоскости α (плоскости симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.
○Замечание. Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе.
○ Определение. Точка, (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке этой фигуры.
○Определение. Элементами симметрии многогранника называются центр, оси и плоскости его симметрии.
32.
Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.
○Теорема. Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n>5.
○Следствие. Существует 5 видов правильных многогранников:
правильный тетраэдр (состоящий из 4 равносторонних треугольников),
правильный октаэдр (состоящий из 8 равносторонних треугольников),
правильный икосаэдр (состоящий из 20 равносторонних треугольников),
куб (состоящий из 6 квадратов),
правильный додекаэдр (состоящий из 12 правильных пятиугольников).
*****
Геометрия 11
Глава 4
Векторы в пространстве
§1. Понятие вектора в пространстве.
34.
○Определение. Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом.
○Определение. Нулевым вектором называется любая точка пространства.
○Определение. Длиной ненулевого вектора называется длина соответствующего отрезка; длина нулевого вектора считается равной 0.
Определение. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
○Определение. Два ненулевых вектора и называются сонаправленными, если они коллинеарны и при этом лучи ОА и ОВ сонаправлены.
○Определение. Два ненулевых вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарны и не сонаправлены.
○Замечание. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.
35.
Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Теорема. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
§2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
36.
○Определение. Суммой двух векторов называется вектор, полученный из них по правилу треугольника.
○Теорема. Сумма векторов не зависит от выбора точки для откладывания векторов.
Теорема (правило треугольника). Для любых трех точек А, В и С имеет место равенство .
Теорема (законы сложения векторов). Для любых векторов , и справедливы равенства:
(переместительный закон);
(сочетательный закон).
○Определение. Два ненулевых вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны.
Замечание. Вектором противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.
○Определение. Разностью векторов и называется вектор, сумма которого с вектором равна вектору .
○Теорема. Для любых векторов и справедливо равенство .
37.
○Теорема. Сумма нескольких векторов не зависит от порядка их сложения.
Теорема (правило многоугольника). Если , , …, - произвольные точки, то .
38.
○Определение. Произведением ненулевого вектора на число k называется вектор , длина которого равна , причем вектор сонаправлен вектору при и противоположно направлен при k<0
○Определение. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
○Следствие 1. Произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор.
○Следствие 2. Для любого вектора и любого числа k векторы и коллинеарны.
○Теорема (законы умножения вектора на число). Для любых векторов , и любых чисел k, l справедливы равенства:
(сочетательный закон).
(первый распределительный закон).
(второй распределительный закон).
○Теорема. Для любого вектора справедливо равенство: .
○Теорема. Если векторы и коллинеарны и , то существует (единственное) число k такое, что .