- •Геометрия в определениях и теоремах
- •Геометрия 7-9
- •Геометрия 7 глава 1
- •§1. Прямая и отрезок.
- •§2. Луч и угол.
- •§3. Сравнение отрезков и углов.
- •§4. Измерение отрезков.
- •§5. Измерение углов.
- •§6. Перпендикулярные прямые.
- •Глава 2
- •§1. Первый признак равенства треугольников.
- •§2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
- •§3. Второй и третий признаки равенства треугольников.
- •§4. Задачи на построение.
- •Глава 3
- •§1. Признак параллельности двух прямых.
- •§2. Аксиома параллельных прямых.
- •Глава 4
- •§1. Сумма углов треугольника.
- •§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
- •§3. Прямоугольные треугольники.
- •§4. Построение треугольника по трем элементам.
- •Геометрия 8
- •Глава 5
- •§1. Многоугольники.
- •§2. Параллелограмм и трапеция.
- •§3. Прямоугольник, ромб, квадрат.
- •Глава 6
- •§1. Площадь многоугольника.
- •§2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции.
- •§3. Теорема Пифагора.
- •Глава 7
- •§1. Определение подобных треугольников.
- •§2. Признаки подобия треугольников.
- •§3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.
- •§4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
- •Глава 8
- •§1. Касательная к окружности.
- •§2. Центральные и вписанные углы.
- •§3. Четыре замечательные точки треугольника.
- •§4. Вписанная и описанная окружности.
- •Глава 9
- •§1. Понятие вектора.
- •§2. Сложение и вычитание векторов.
- •§3. Умножение вектора на число.
- •Геометрия 9 глава 10
- •§1. Координаты вектора.
- •§2. Простейшие задачи в координатах.
- •§3. Уравнения окружности и прямой.
- •Глава 11
- •§1. Синус, косинус и тангенс угла.
- •§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
- •§3. Скалярное произведение векторов.
- •Глава 12
- •§1. Правильные многоугольники.
- •§2. Длина окружности и площадь круга.
- •Глава 13
- •§1. Понятие движения.
- •§2. Параллельный перенос и поворот.
- •Приложения
- •Геометрия 10-11
- •Геометрия 10
- •Глава 1
- •§1. Параллельность прямых, прямой и плоскости.
- •§2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.
- •§3. Параллельность плоскостей.
- •§3. Тетраэдр и параллелепипед.
- •Глава 2
- •§1. Перпендикулярность прямой и плоскости.
- •§2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
- •§2. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.
- •Глава 3
- •§1. Понятие многогранника. Призма.
- •§2. Пирамида.
- •§3. Правильные многогранники.
- •Геометрия 11
- •Глава 4
- •§1. Понятие вектора в пространстве.
- •§2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
- •§2. Компланарные векторы.
- •Глава 5
- •§1. Координаты точки и координаты вектора.
- •§2. Скалярное произведение векторов.
- •§3. Движения.
- •Глава 6
- •§1. Цилиндр.
- •§2. Конус.
- •§3. Сфера.
- •Глава 7
- •§1. Объем прямоугольного параллелепипеда.
- •§2. Объем прямой призмы и цилиндра.
- •§3. Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса.
- •§4. Объем шара и площадь сферы.
- •Приложения
Глава 3
Многогранники
§1. Понятие многогранника. Призма.
25.
○Определение. Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело, причем никакие два соседних многоугольника не лежат в одной плоскости.
○Определение. Гранями многогранника называются многоугольники, из которых составлен многогранник.
○Определение. Ребрами многогранника называются стороны его граней.
○Определение. Вершинами многогранника называются концы его ребер.
○Определение. Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.
○Определение. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости любой его грани.
○Теорема. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при его каждой вершине меньше 360°.
27.
○Определение. n-угольной призмой называется призма, в основании которой лежит n-угольник.
○Определение. Высотой призмы называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.
○Определение. Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям.
Замечание. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
○Определение. Призма называется наклонной, если ее боковые ребра не перпендикулярны к основаниям.
○Определение. Призма называется правильной, если она прямая, и ее основания - правильные многоугольники.
○Замечание. У правильной призмы все боковые грани - равные прямоугольники.
Определение. Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.
Определение. Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех ее боковых граней.
Теорема (площадь боковой поверхности прямой призмы). Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Теорема ( 236)). Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.
§2. Пирамида.
28.
○Определение. n-угольной пирамидой называется пирамида, в основании которой лежит n-угольник.
Замечание. Треугольная пирамида - это тетраэдр.
○Определение. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания.
Определение. Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.
Определение. Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.
29.
Определение. Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
○Замечание 1. У правильной пирамиды все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.
○Замечание 2. У правильной пирамиды все боковые ребра равны.
○Определение. Апофемой правильной пирамиды называется высота ее боковой грани, проведенная из вершины.
Теорема (площадь боковой поверхности правильной пирамиды). Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
30.
○Определение. Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.
○Замечание 1. У усеченной пирамиды все боковые грани - трапеции.
Определение. Площадью полной поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.
Определение. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.
Определение. Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
○Замечание 1. Основания правильной усеченной пирамиды - правильные многоугольники.
○Замечание 2. Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равнобедренные трапеции.
○Определение. Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани.
Теорема (площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды). Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна половине произведения полусуммы периметров оснований на апофему.