§2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.

19.

○Определение. Перпендикуляром, проведенным из точки к плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

○Определение. Основанием перпендикуляра называется его конец, лежащий на плоскости.

○Определение. Наклонной, проведенной из точки к плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с какой-нибудь точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к этой плоскости.

○Определение. Основанием наклонной называется ее конец, лежащий на плоскости.

○Определение. Проекцией наклонной на плоскость называется отрезок, соединяющий основание наклонной с основанием перпендикуляра, проведенного из той же точки к этой плоскости.

Замечание. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.

○Определение. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к этой плоскости.

Замечание 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

○Определение. Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из этих плоскостей до другой плоскости.

Замечание 2. Если прямая параллельна плоскости, то все точки этой прямой равноудалены от этой плоскости.

○Определение. Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до этой плоскости.

○Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

20.

Теорема (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Теорема (обратная к теореме о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

21.

Определение. Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.

○Определение. Проекцией фигуры F на данную плоскость называется фигура F`, состоящая из проекций всех точек фигуры F на эту плоскость.

○Теорема. Проекцией наклонной прямой на плоскость является прямая.

○Следствие. Проекцией отрезка наклонной прямой на плоскость является отрезок.

●Определение. Углом между наклонной прямой и плоскостью называется угол между ней и ее проекцией на эту плоскость.

○Определение. Угол между перпендикуляром и плоскостью считается равным 90°.

§2. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.

22.

Определение. Двугранным углом называется фигура образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

○Определение. Гранями двугранного угла называются полуплоскости его образующие.

○Определение. Ребром двугранного угла называется общая граница его граней.

○Определение. Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный двумя лучами, лежащими в разных его гранях и исходящими из одной точки на его ребре перпендикулярно к ребру.

Теорема (корректность определения линейного угла двугранного угла). Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Определение. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

23.

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теорема (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

●Следствие. Если плоскость перпендикулярна к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, то она перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

24.

○Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания являются прямоугольниками.

Теорема (1 свойство прямоугольного параллелепипеда). В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - прямоугольники.

Теорема (2 свойство прямоугольного параллелепипеда). Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - прямые.

■Теорема (3 свойство прямоугольного параллелепипеда). Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

■Следствие (4 свойство прямоугольного параллелепипеда). Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

○Теорема (о двух плоскостях, перпендикулярных третьей ( 183)). Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то их линия пересечения тоже ей перпендикулярна.

○Теорема (об общем перпендикуляре к скрещивающимся прямым ( 186)). Существует одна и только одна прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые и перпендикулярная к каждой из них.