- •Геометрия в определениях и теоремах
- •Геометрия 7-9
- •Геометрия 7 глава 1
- •§1. Прямая и отрезок.
- •§2. Луч и угол.
- •§3. Сравнение отрезков и углов.
- •§4. Измерение отрезков.
- •§5. Измерение углов.
- •§6. Перпендикулярные прямые.
- •Глава 2
- •§1. Первый признак равенства треугольников.
- •§2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
- •§3. Второй и третий признаки равенства треугольников.
- •§4. Задачи на построение.
- •Глава 3
- •§1. Признак параллельности двух прямых.
- •§2. Аксиома параллельных прямых.
- •Глава 4
- •§1. Сумма углов треугольника.
- •§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
- •§3. Прямоугольные треугольники.
- •§4. Построение треугольника по трем элементам.
- •Геометрия 8
- •Глава 5
- •§1. Многоугольники.
- •§2. Параллелограмм и трапеция.
- •§3. Прямоугольник, ромб, квадрат.
- •Глава 6
- •§1. Площадь многоугольника.
- •§2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции.
- •§3. Теорема Пифагора.
- •Глава 7
- •§1. Определение подобных треугольников.
- •§2. Признаки подобия треугольников.
- •§3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.
- •§4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
- •Глава 8
- •§1. Касательная к окружности.
- •§2. Центральные и вписанные углы.
- •§3. Четыре замечательные точки треугольника.
- •§4. Вписанная и описанная окружности.
- •Глава 9
- •§1. Понятие вектора.
- •§2. Сложение и вычитание векторов.
- •§3. Умножение вектора на число.
- •Геометрия 9 глава 10
- •§1. Координаты вектора.
- •§2. Простейшие задачи в координатах.
- •§3. Уравнения окружности и прямой.
- •Глава 11
- •§1. Синус, косинус и тангенс угла.
- •§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
- •§3. Скалярное произведение векторов.
- •Глава 12
- •§1. Правильные многоугольники.
- •§2. Длина окружности и площадь круга.
- •Глава 13
- •§1. Понятие движения.
- •§2. Параллельный перенос и поворот.
- •Приложения
- •Геометрия 10-11
- •Геометрия 10
- •Глава 1
- •§1. Параллельность прямых, прямой и плоскости.
- •§2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.
- •§3. Параллельность плоскостей.
- •§3. Тетраэдр и параллелепипед.
- •Глава 2
- •§1. Перпендикулярность прямой и плоскости.
- •§2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
- •§2. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.
- •Глава 3
- •§1. Понятие многогранника. Призма.
- •§2. Пирамида.
- •§3. Правильные многогранники.
- •Геометрия 11
- •Глава 4
- •§1. Понятие вектора в пространстве.
- •§2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
- •§2. Компланарные векторы.
- •Глава 5
- •§1. Координаты точки и координаты вектора.
- •§2. Скалярное произведение векторов.
- •§3. Движения.
- •Глава 6
- •§1. Цилиндр.
- •§2. Конус.
- •§3. Сфера.
- •Глава 7
- •§1. Объем прямоугольного параллелепипеда.
- •§2. Объем прямой призмы и цилиндра.
- •§3. Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса.
- •§4. Объем шара и площадь сферы.
- •Приложения
Глава 1
Параллельность прямых и плоскостей
§1. Параллельность прямых, прямой и плоскости.
4.
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Теорема (о параллельных прямых). Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
5.
●Лемма (о пересечении параллельными прямыми плоскости). Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема (о связке параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
6.
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
●Теорема (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскость.
○Замечание 1. Если прямая параллельна плоскости и лежит в плоскости, пересекающей данную, то прямая параллельна линии пересечения плоскостей.
○Замечание 2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.
§2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.
7.
Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
●Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
○Следствие. Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:
а) прямые пересекаются;
б) прямые параллельны;
в) прямые скрещиваются.
Теорема (свойство скрещивающихся прямых). Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
8.
○Определение. Полуплоскостью называется каждая из двух частей, на которые прямая, лежащая в плоскости, делит эту плоскость.
○Определение. Два луча называются сонаправленными, если
1) они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей, проходящей через их начала, или
2) они лежат на одной прямой и совпадают или один из них содержит другой.
●Теорема (об углах с сонаправленными сторонами). Углы с сонаправленными сторонами равны.
9.
○Определение. Углом между пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных ими.
○Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным.
○Теорема (корректность определения скрещивающихся прямых). Угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора пересекающихся прямых, им параллельных.
§3. Параллельность плоскостей.
10.
●Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Теорема (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
11.
Теорема (1 свойство параллельных плоскостей). Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Теорема (2 свойство параллельных плоскостей). Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
○Теорема (3 свойство параллельных плоскостей ( 55)). Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.
○Теорема (4 свойство параллельных плоскостей ( 58)). Если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.
○Теорема (5 свойство параллельных плоскостей ( 59)). Через любую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна.
○Теорема (2 признак параллельности плоскостей ( 60)). Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны.