Приложения

АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ

Аксиомы взаимного расположения точек и прямых.

Аксиома 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки.

Аксиома 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

Аксиома 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Аксиома 4. Из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.

●Аксиома 5. Каждая точка О прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей.

●Аксиома 6. Каждая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет ее на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а. При этом точки прямой а не принадлежат ни одной из указанных полуплоскостей.

Аксиомы наложения.

Аксиома 7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

Аксиома 8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

Аксиома 9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

●Аксиома 10. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом , а луч k - с лучом ; 2) так, что луч h совместится с лучом , а луч k - с лучом .

Аксиомы равенства.

Аксиома 11. Любая фигура равна самой себе.

Аксиома 12. Если фигура Ф равна фигуре , то фигура равна фигуре Ф.

Аксиома 13. Если фигура равна фигуре , а фигура равна фигуре , то фигура равна фигуре .

Аксиомы измерения.

Аксиома 14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

Аксиома 15. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Аксиома параллельных прямых.

*●Аксиома 16. В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

○Теорема (Чевы). Пусть в треугольнике АВС на сторонах ВС, СА и АВ или их продолжениях взяты соответственно точки , и , не совпадающие с вершинами треугольника. То прямые , и пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда выполнено равенство .

○Теорема (Менелая). Пусть в треугольнике АВС на сторонах ВС, СА и АВ или их продолжениях взяты соответственно точки , и , не совпадающие с вершинами треугольника. То точки , и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство .

*****

Геометрия 10-11

*****

Геометрия 10

Введение

2.

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

●Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости.

●Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

3.

Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.