Глава 12

Длина окружности и площадь круга.

§1. Правильные многоугольники.

105.

Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

106.

Теорема. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

107.

Теорема. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

●Следствие 1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается его сторон в их серединах.

●Следствие 2. Центр окружности, вписанной в правильный многоугольник, совпадает с центром окружности, описанной около него.

○Определение. Центром правильного многоугольника называется центр окружности, вписанной в него или описанной около него.

108.

○Теорема (площадь правильного многоугольника). Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

109.

○Замечание. Не все правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки.

§2. Длина окружности и площадь круга.

110.

○Теорема. Отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей.

○Теорема. Длина окружности радиуса R выражается формулой: .

○Теорема. Длина дуги окружности радиуса R выражается формулой: (α в градусах) или (α в радианах).

111.

○Определение. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

○Теорема. Площадь круга радиуса R выражается формулой: .

112.

Определение. Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

○Определение. Дугой сектора называется дуга, которая ограничивает этот сектор.

○Теорема. Площадь сектора радиуса R выражается формулой: (α в градусах) или (α в радианах).

Глава 13

Движения.

§1. Понятие движения.

114.

○Определение. Движением плоскости называется отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

○Теорема. Осевая симметрия является движением.

○Теорема. Центральная симметрия является движением.

● Теорема. При движении отрезок отображается на равный ему отрезок.

Следствие. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

115.

○Теорема 1. Любое наложение является движением плоскости.

Теорема 2. Любое движение является наложением.

Следствие. При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

§2. Параллельный перенос и поворот.

116.

○Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое отображение плоскости на себя, при котором любая точка М переходит в точку , такую что .

○Теорема. Параллельный перенос является движением.

117.

○Определение. Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется такое отображение плоскости на себя, при котором любая точка М переходит в точку , такую что и угол равен α.

Теорема. Поворот является движением.

*****