§2. Простейшие задачи в координатах.
88.
○Определение. Радиус-вектором точки называется вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало - с началом координат.
○Теорема. Координаты точки равны соответствующим координатам ее радиус- вектора.
Теорема (о координатах вектора). Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
89.
Теорема (о координатах отрезка). Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
○Теорема
(о длине вектора).
Длина вектора равна корню из суммы
квадратов его координат. (Длина вектора
вычисляется по формуле
).
○Теорема
(о расстоянии между двумя точками).
Расстояние между точками
и
вычисляется по формуле
.
○Теорема (952). Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин (является центром описанной около него окружности).
○Теорема (свойство параллелограмма (953)). Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
§3. Уравнения окружности и прямой.
90.
○Определение. Уравнением линии называется уравнение с двумя переменными x и у, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.
91.
○Теорема
(уравнение окружности).
В прямоугольной системе координат
уравнение окружности с центром
и радиусом R
имеет
вид:
.
92.
○Теорема (уравнение прямой). В прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид: ax+by+c=0.
Глава 11
Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.
§1. Синус, косинус и тангенс угла.
94.
○Определение.
Основным
тригонометрическим тождеством
называется равенство
.
§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
96.
Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
97.
Теорема (синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
○Теорема (синусов, расширенная). Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности.
98.
●Теорема (косинусов). Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
§3. Скалярное произведение векторов.
101.
Определение. Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
102.
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
○Теорема. Скалярное произведение ненулевых векторов равно 0 тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
○Определение.
Скалярным
квадратом вектора
называется скалярное произведение
вектора на себя и обозначается
.
○Теорема.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату
его длины:
.
103.
Теорема.
Скалярное произведение векторов
и
выражается формулой:
.
●Следствие
1 (условие перпендикулярности векторов).
Ненулевые векторы
и
перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно
0 (
).
Следствие
2 (косинус угла между векторами).
Косинус угла между ненулевыми векторами
и
выражается формулой:
.
104.
Теорема (основные свойства скалярного произведения векторов). Для любых векторов , , и любого числа k справедливы соотношения:
,
причем
>0
при
;
(переместительный
закон);
(распределительный
закон);
(сочетательный
закон).