§4. Вписанная и описанная окружности.

74.

○Определение. Окружность называется вписанной в многоугольник, если все его стороны касаются этой окружности.

○Определение. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

○Теорема (об окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

○Замечание. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

●Теорема (свойство описанного четырехугольника). В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

●Теорема (признак описанного четырехугольника). Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

75.

○Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности.

○Определение. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

○Теорема (об окружности, описанной около треугольника). Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Замечание. Около четырехугольника не всегда можно вписать окружность.

●Теорема (свойство вписанного четырехугольника). Во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180.

●Теорема (признак описанного четырехугольника). Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180, то около него можно описать окружность.

○Теорема (признак ромба ( 696)). Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это - ромб.

○Теорема (свойство ромба ( 700)). В любой ромб можно вписать окружность.

○Теорема ( 697). Площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на высоту.

○Теорема (признак прямоугольника ( 709)). Если около параллелограмма можно описать окружность, то это - прямоугольник.

○Теорема (признак равнобедренной трапеции( 710)). Если около трапеции можно описать окружность, то она - равнобедренная.

Глава 9

Векторы

§1. Понятие вектора.

76.

●Определение. Вектором или направленным отрезком называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом.

○Определение. Нулевым вектором называется любая точка плоскости.

○Определение. Длиной ненулевого вектора называется длина соответствующего отрезка; длина нулевого вектора считается равной 0.

77.

Определение. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

○Определение (из 10 класса!) Два луча называются сонаправленными, если

1) они параллельны и лежат по одну сторону от прямой, проходящей через их начала, или

2) они совпадают или один из них содержит другой.

○Определение. Два ненулевых вектора и называются сонаправленными, если они коллинеарны и при этом лучи ОА и ОВ сонаправлены.

○Определение. Два ненулевых вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарны и не сонаправлены.

○Замечание. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

78.

○Теорема. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.