§1.4. Индексы Миллера

Для задания направлений и плоскостей в кристаллах широко используются индексы Миллера. Для определения положения любой плоскости кристалла необходимо знать координаты трех произвольных точек, лежащих в плоскости. В качестве этих точек удобно брать точки пересечения задаваемой плоскости с осями координат. Выразим расстояние от начала координат, до точек пересечения этой плоскости с каждой из координатных осей в единицах постоянных решетки, вдоль осей: a, b, c. Предположим, что плоскость пересекает на оси Х отрезок равный 1а, на оси Y – ½ b, на оси Z – 2c. возьмем обратное значение коэффициентов при постоянных решетки: 1; 2; ½ - соответственно для осей X, Y, Z. Приведем полученные числа к наименьшим рациональным дробям с общим знаменателем: 2/2; 4/2; ½ - отбросим общий знаменатель и заключим в круглые скобки переписанные по порядку числители этих дробей (2; 4; 1) – эти числа и есть индексы Миллера данной плоскости, которые записываются (241). Если плоскость пересекает ось в отрицательной области, над соответствующим индексом Миллера пишут знак минус, если плоскость параллельна данной координатной оси, то индекс Миллера для нее равен 0. Грани кубического кристалла имеют индексы (100); ( 00); (010); (0 0); (001); (00 ).

С помощью индексов Миллера может быть описано и заданное направление в кристалле. Любое направление можно изобразить линией проходящей через центр. Поэтому координаты произвольной точки, лежащей на данной линии, выраженные через постоянные решетки a, b, c и приведенные к наименьшим целым числам, представляют собой миллеровские индексы направления. Индексы направления записываются и обозначаются [u, v, w]. В кубической системе индексы данной плоскости имеют те же значения что и индексы направления перпендикуляров к плоскости.

П оложение любого узла относительно начала координат определяется его координатами (x, y, z), эти координаты можно выражать следующим образом, соответственно (ma, nb, pc), где a, b, c – постоянные решетки, а m, n, p – целые числа. Если за единицу измерения длин вдоль осей решетки принять параметры решетки, то координатами узла будут числа m, n, p – эти числа называются индексами узла и обозначаются [[m, n, p]].

Рис. 1.9

§1.5. Явление полиморфизма

Некоторым твердым телам свойственна не одна, а две и более кристаллические структуры, устойчивые при различных температурах и давлениях, такие структуры называют полиморфными.

Полиморфные модификации принято обозначать греческими буквами. Модификации устойчивые при низких температурах принято обозначать , при более высоких ,  и т. д.

Классическим примером является полиморфизм олова. При температуре ниже +13,3С устойчива -модификация олова, имеющая тетрагональную решетку типа алмаза, это так называемое серое олово. Оно хрупкое, легко разрушается в порошок. Выше +13,3С -олово переходит в -олово, имеющее объемно-центрированную тетрагональную решетку. Это хорошо известное белое металлическое олово, обладающее хорошей пластичностью. Переход от -олова к -олову, сопровождается значительным увеличением удельного объема (25%). При сильном охлаждении изделия из олова на них образуются наросты, и эти изделия могут разрушиться.

Кроме олова полиморфизмом обладают и другие химические элементы, а именно: углерод (С), железо (Fe), никель (Ni), кобальт (Co), вольфрам (W), титан (Ti), бор (B), бериллий (Be), а также многие другие химические элементы и сплавы.

Р ассмотрим углерод: он существует в форме алмаза (рис 1.10) и графита (рис. 1.11). В обычных условиях графит более устойчив, чем алмаз, хотя разница в энергии модификации не велика ΔU= - 1,86 Дж/моль

Рис 1.10 Рис.1.11

При нагревании алмаза без доступа воздуха до температуры выше 1000С, алмаз с большой скоростью переходит в графит. Плотность алмаза больше плотности графита: ρ_a=3500 кг/м³, ρ_г=2250 кг/м³, что объясняется неплотной упаковкой атомных слоев в графите, поэтому при повышении давления устойчивость алмаза растет, а графита падает. И при достаточно высоких давлениях алмаз становится более устойчивым, чем графит. Если при этом повысить температуру, чтобы увеличить подвижность атомов, то графит можно перевести в алмаз. Синтез алмаза ведется при давлении порядка 100000 атм. и температуре 2000С. Полученные таким способом алмазы оказались прочнее и тверже природных и их применение в промышленности примерно на 40% эффективней естественных.

По типу алмаза синтезирован другой материал, исключительно высокой твердости – это кубический нитрит бора. Он тверже алмаза и выдерживает нагрев в атмосферных условиях до 2000С. с теоретической точки зрения, полиморфизм должен наблюдаться у всех твердых тел, однако эти явления ограничиваются процессами плавления и сублимацией.

Переход от одной модификации к другой сопровождается выделением или поглощением теплоты и является фазовым переходом первого рода. Поскольку такой переход связан с перестройкой решетки, а подвижность атомов в твердых телах низкая, то модификация термодинамически устойчивая в данных условиях, может существовать в этих условиях практически неограниченное время.

Индексы Миллера

Для задания направлений и плоскостей в кристаллах широко используются индексы Миллера. Для определения положения любой плоскости кристалла необходимо знать координаты 3-ех произвольных точек лежащих в плоскости. В качестве этих точек удобно брать точки пересечения задаваемой плоскости с осями координат. Выразим расстояние от начала координат, до точек пересечения этой плоскости с каждой из координатных осей в единицах постоянных решетки, вдоль осей: a, b, c. Предположим, что плоскость пересекает на оси Х отрезок равный 1а, на оси Y – ½ b, на оси Z – 2c. возьмем обратное значение коэффициентов при постоянных решетки: 1; 2; ½ - соответственно для осей X, Y, Z. Приведем полученные числа к наименьшим рациональным дробям с общим знаменателем: 2/2; 4/2; ½ - отбросим общий знаменатель и заключим в круглые скобки переписанные по порядку числители этих дробей (2; 4; 1) – эти числа и есть индексы Миллера данной плоскости, которые записываются (241). Если плоскость пересекает ось в отрицательной области, над соответствующим индексом Миллера пишут знак минус, если плоскость параллельна данной координатной оси, то индекс Миллера для нее равен 0. Грани кубического кристалла имеют индексы (100); (100); (010); (010); (001). Индексы плоскостей эквивалентных по характеру симметрии обычно располагают в фигурных скобках. Например: все грани куба представляют собой семейство плоскостей типа {100}. В общем виде семейство плоскостей изображают буквами: h, k, l.

С помощью индексов Миллера может быть описано и заданное направление в кристалле, т.к. любое направление можно изобразить линией проходящей через центр, то координаты произвольной точки лежащей на данной линии и выражение через постоянные решетки a, b, c, приведенные к наименьшим целым числам представляют собой миллеровские индексы направления. Индексы направления записываются и обозначаются [u, v, w]. В кубической системе индексы данной плоскости имеют те же значения что и индексы направления перпендикуляров к плоскости.

Положение любого узла относительно начала координат определяется его координатами (x, y, z), эти координаты можно выражать следующим образом, соответственно (ma, nb, pc), где a, b, c – постоянные решетки, а m, n, p – целые числа.

Рисунок 1.5

Если за единицу измерения длин вдоль осей решетки принять параметры решетки, то координатами узла будут числа m, n, p – эти числа называются индексами узла и обозначаются [[m, n, p]].