Глава 5 Электропроводность твердых тел

§5.1. Равновесное состояние электронного газа в проводнике в отсутствие электрического поля

В отсутствие электрического поля электронный газ в проводнике находится в равновесном состоянии и описывается равновесными функциями распределения. Для вырожденного газа ею является функция Ферми — Дирака (рис. 5.1, а), для невырожденного газа - функция Максвелла - Больцмана (рис. 5.1,6).

Рис. 5.1

Из рис. 5.1 видно, что графики этих функций симметричны относительно оси ординат. Это указывает на то, что количество электронов в проводнике, движущихся в противоположных направлениях, всегда одинаково, а их средняя скорость в любом направлении равна нулю. Этим объясняется тот факт, что в проводнике, содержащем сколь угодно большое количество свободных электронов, электрический ток не возникает.

Установление равновесия электронного газа происходит в результате взаимодействия электронов с дефектами решетки, которое сопровождается обменом энергии и импульса. Такими дефектами являются, прежде всего, тепловые колебания решетки (фононы) и примесные атомы. Взаимодействие приводит к рассеянию электронов и установлению беспорядочного движения их в проводнике.

§5.2. Дрейф электронов под действием внешнего поля

При приложении к проводнику электрического поля Е в нем возникает электрический ток, плотность которого согласно закону Ома пропорциональна E:

(5.1)

Коэффициент пропорциональности σ называется удельной электропроводностью проводника. Она измеряется в Ом^-1·м^-1. У хороших проводников, таких, например, как металлы, σ ≈ 10⁷ - 10⁸ Ом^-1·м^-; у хороших диэлектриков σ ≈ 10^-12 - 10^-14 Ом^-1·м^-1. Часто удобнее пользоваться не удельной электропроводностью, а удельным сопротивлением ρ:

ρ =1/σ (5.2)

Удельное сопротивление измеряется в омметрах (Ом·м). У металлов ρ ≈ 10^-7—10^-8 Ом·м, у диэлектриков ρ ≈ 10¹²—10¹⁴ Ом·м.

В озникновение тока в проводнике свидетельствует о том, что под действием поля электроны приобретают направленное движение, и функция распределения их по состояниям изменяется. Такое направленное движение называют дрейфом электронов, а среднюю скорость этого движения — скоростью дрейфа v_Д. Вычислим ее.

Рис. 5.2

Сила, действующая на электрон со стороны поля Е, равна F = - qЕ (рис. 5.2). Под действием этой силы электрон должен был бы двигаться ускоренно, и его скорость должна была бы непрерывно возрастать. Однако при своем движении электрон сталкивается с дефектами решетки и, рассеиваясь, теряет скорость, приобретенную под влиянием поля. Действие решетки можно формально свести к действию силы сопротивления , которую испытывает электрон при своем движении через решетку. Эта сила пропорциональна скорости движения электрона и направлена противоположно ей:

, (5.3)

где 1/τ - коэффициент пропорциональности, физический смысл которого будет выяснен в дальнейшем;

m_n — эффективная масса электрона.

Используя (5.3), уравнение направленного движения электрона в решетке можно записать в следующем виде:

(5.3′)

Из (5.3′) видно, что после включения поля скорость направленного движения электронов будет возрастать и они будут двигаться ускоренно до тех пор, пока сила сопротивления , пропорциональная скорости v_Д(t), не окажется равной силе , действующей со стороны поля. Когда эти силы сравняются, результирующая сила, действующая на электрон, и ускорение его движения будут равны нулю.

Начиная с этого момента, направленное движение электронов будет совершаться с постоянной скоростью

(5.4)

Так как заряд электрона отрицателен, то дрейф происходит в направлении, противоположном .

Отношение скорости дрейфа к напряженности поля называют подвижностью носителей:

(5.5)

Для электронов u_n<0, для дырок u_p > 0.

При постоянной напряженности поля E скорость дрейфа, соглас­но (5.4), достигает постоянного значения. Это возможно лишь в том случае, если сила F = - qЕ, с которой поле действует на электрон, компенсируется силой сопротивления F_c. В противном случае скорость дрейфа непрерывно росла бы и даже для малых полей могла бы стать сколь угодно большой. Электропроводность в этом случае была бы бес­конечной, а электрическое сопротивление равнялось бы нулю.

Подобная картина имела бы место при движении свободных электронов сквозь идеально правильную решетку со строго периодическим потенциалом. Электронная волна, описывающая поведение электрона в такой решетке, распространялась бы в ней практически без ослабле­ния, подобно световой волне, распространяющейся в оптически про­зрачной среде.

Причиной появления конечного электрического сопротивления являются всевозможные нарушения решетки, вызывающие искажения периодичности ее потенциала, на которых происходит рассеяние элек­тронных волн и ослабление направленного потока электронов подоб­но рассеянию световых волн и ослаблению светового пучка при про­хождении его через мутную среду.